麻省理工-高等线性代数笔记1.方程组的几何解释

1.方程组的几何解释

考虑n个方程 n个未知数，从简单的2个方程 2个未知数开始考虑。

• 2个方程 2个未知数

  

  等号左侧分别是两行两列的系数矩阵（记作矩阵A），和两个未知数组成的向量（记作加粗的X）；

  等号右侧是向量（0，3）（记作b）；

  于是该线性方程组可以写成Ax=b；

  求解的方法有两种：一是Row Picture行图像方法，二是Column Picture列图像方法（更重要）。

  Row Picture（行图像）

  对上述线性方程组，一次取一行，作图于x-y平面；

  

  由图可以得出，x=1，y=2；

  Column Picture（列图像）

这个方程的目的是考虑如何将（2，-1）和（-1，2）这两个向量正确组合，从而构成（0，3）这个向量；

这就需要找到一个正确的线性组合（图中等号左侧部分就叫做列向量的线性组合linear combination of columns）

线性组合是贯穿该课程始终的基本方法。

上图是其代数形式，其几何形式如下：

对列图像考虑正确的组合，而正确的组合是为了得到（0，3）

根据行图像得出的x=1，y=2，考虑将其在列图像上绘制体现出来，也就是一倍的col 1，两倍的col 2，最后得到b向量。

考虑所有的线性组合的情况，即x和y的情况。

此时得到的结果将会是得到任意的等号右侧向量，左侧这两个向量的组合会布满整个坐标平面，以后碰到再深入研究。

• 3个方程 3个未知数（例子1）

这里的系数矩阵（矩阵A）就是左侧的系数组合起的矩阵；向量b就是（0，-1，4）；

Row Picture（行图像）

3 X 3的情况下，一个方程是一个平面，而这三条方程不平行也不特殊，所以两个方程相交于一条直线，三条方程必然交于一点，但是3 X 3 的行图像很难像2 X 2的行图像那样绘制出来。

如果变成四维空间，甚至n维空间，问题会变得更复杂。

Column Picture（列图像）

左侧是三个向量的线性组合，每个向量均为三维向量 ，这个方程的目的是考虑如何将这三个向量正确组合，从而得到右侧向量；

很容易得到，x=0，y=0，z=1是这个线性方程组的解，（0，0，1）就是行图像中难以看出的、三平面的交点。

当然列图像方法并不能总是找到解，下一讲将讲到消元法（求解的系统方法，即求所有情况下的x，y，z的方法） 。

所有人，以及不管怎么复杂的软件都可以通过消元法求解方程组。

• 3个方程 3个未知数（例子2）

继续回到本讲的“大图”（保持左侧不变，改变右侧向量）上，改变右侧向量为（1，1，-3）：

（1，1，-3）仍然是特殊的向量（简单将列1和列2相加），故可以得到解为x=1，y=1，z=0.

对于行图像来说，需要重新绘制平面寻找交点；而对于列图像来说，三列向量没有发生变化，只是需要重新组合。

现在考虑所有的右侧向量b。这等价于代数问题：对任意b，是否能求解AX=b？。等价于用“线性组合”的方式问：列的线性组合是否能覆盖整个三维空间？

对于这个例子2（非奇异矩阵，可逆矩阵）来说，答案是YES。

但是对于另一些其他矩阵，答案可能是NO。（如这三个列向量处于同一平面时，那么其组合必然也处于该平面上，此时这三个列向量的线性组合不能覆盖整个三维空间——这种情形被称作奇异，矩阵不可逆）

想象九维空间中9个向量的组合，是线性代数中必须掌握的中心内容，虽然难以具象化，但是可以想象。九维空间中九个向量的组合，将能够覆盖整个九维空间，此时取得所有右侧向量b的答案就是YES。

但如果第九列碰巧等于第八列，那么此时的线性组合就不能覆盖整个九维空间，此时想要取得所有右侧向量b的答案就是NO。

对于非奇异矩阵的情况，只要正确组合，就可以得到任何的向量b。

• 方程的矩阵形式

  Ax=b，矩阵乘以向量的计算方法。

  计算方法一：一次取一列（更推荐，尤其在数据量变大时），将A乘以x，看作A各列的线性组合

  

  计算方法二：一次取一行，用每行点乘向量x

  （2，5）与（1，2）点乘,2 x 1+5 x 2 = 12;（1，3）与（1，2）点乘，1 x 1 + 3 x 2 =7；