爬楼梯 三种算法比较

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

方法一：递归方法，类似递归形式的斐波那契数列，时间复杂度：O(2**n)，空间复杂度：O(n)

int climbStairsMemo(int n, int memo[]) {
    if (memo[n] > 0) {
        return memo[n];
    }
    if (n == 1) memo[n] = 1;
    else if (n == 2) memo[n] = 2;
    else memo[n] = climbStairsMemo(n - 1, memo) + climbStairsMemo(n - 2, memo);
    return memo[n];
}

方法二：记忆化递归方法，时间复杂度：O(n)

方法三：动态规划，时间复杂度：O(n)

int climebStairs3(int n) {
    if (n == 1) return 1;
    int dp[n + 1];
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;

    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }

    return dp[n];
}

方法四：
可以发现，方法三在计算 dp[i] 时，实际上只需要用到 dp[i - 1] 和 dp[i - 2] 的值，并不需要存储整个数组 dp。
因此，可以使用常数级的额外空间来优化这段代码，将空间复杂度降低到 O(1)。以下是优化后的代码：

int climbStairs4(int n) {
    if (n == 1) return 1;
    int first = 1;
    int second = 2;
    int third;

    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        third = first + second;
        first = second;
        second = third;
    }

    return second;
}