斐波那契数列

用递归实现斐波那契数列的复杂度分析：
时间复杂度：O(2n)。在递归计算过程中，会产生大量的重复计算。例如，计算 F(n) 时需要计算
F(n?1) 和 F(n?2)，而计算 F(n?1) 时又会计算 F(n?2)，以此类推，形成了一个指数级的递归树，
节点数随着 n 的增大呈指数级增长。
空间复杂度：O(n)。递归调用会使用系统栈空间，递归的深度最大为 n，所以空间复杂度为 O(n)。
详细解释可以参考视频：https://www.bilibili.com/video/BV1JrWoe1EhW?t=82.5

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
// 用递归的方式来求斐波那契数列
int Fibonacci1(int n) {
    if (n == 0) {
        return 0;
    } else if (n == 1) {
        return 1;
    } else {
        return Fibonacci1(n - 2) + Fibonacci1(n - 1);
    }
}

vector<int> FibonacciArray(int m) {
    vector<int> result;
    int k = 0;
    int currentFib = Fibonacci1(k);
    while (currentFib <= m) {
        result.push_back(currentFib);
        k++;
        currentFib = Fibonacci1(k);
    }
    return result;
}

int main() {
    int n = 1e8;

//    printf("请输入数n(n>=0)：");
//    scanf("%d", &n);

    double beginTime = clock();
    printf("小于等于%d的斐波那契数列是：", n);
    for (int num : FibonacciArray(n)) {
        cout << num << " ";
    }
    double endTime = clock();
    printf("\ntime=%.0lfms", endTime - beginTime);

    return 0;
}

动态规划方式通过迭代的方法，从斐波那契数列的前两项开始，依次计算后续的项，
并将结果存储在一个数组中，避免了递归方式中的重复计算。
复杂度分析
时间复杂度：O(k)，其中 k 是满足斐波那契数列第 k 项大于指定上限 n 的最小 k 值。
在迭代过程中，只需要遍历一次来计算每一项，每次计算的时间为常数时间，
所以总的时间复杂度与需要计算的斐波那契数的个数成正比。
空间复杂度：O(k)。主要的空间开销是用于存储斐波那契数列中小于等于n 的所有项的数组，
数组的长度为 k

时间复杂度视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1kWHPebEFu?t=79.0

 

动态规划的核心三要素，我们可以用斐波那契数列为例详细解释，
可以参考同目录下的 "动态规划核心三要素.txt" 文件
1. 最优子结构：大问题最优解包含子问题最优解
2. 重叠子问题：子问题被重复计算（可用记忆化优化）
3. 状态转移方程：递推关系的数学表达

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
// 用动态规划的方式来求斐波那契数列
vector<int> Fibonacci(int n) {
    vector<int> fib;
    int k = 1;
    fib.push_back(0);
    fib.push_back(1);
    while (fib[k] <= n) {
        k++;
        fib[k] = fib[k - 1] + fib[k - 2];
        if (fib[k] <= n)    fib.push_back(fib[k]);
    }

    return fib;
}


int main() {
    int n = 1e8;

//    printf("请输入数n(n>=0)：");
//    scanf("%d", &n);

    double beginTime = clock();
    printf("小于等于%d的斐波那契数列是：", n);
    for (int num : Fibonacci(n)) {
        cout << num << " ";
    }
    double endTime = clock();
    printf("\ntime=%.0lfms", endTime - beginTime);

    return 0;
}