BZOJ 4589 Hard Nim

Description

Claris和NanoApe在玩石子游戏，他们有n堆石子，规则如下：

1. Claris和NanoApe两个人轮流拿石子，Claris先拿。

2. 每次只能从一堆中取若干个，可将一堆全取走，但不可不取，拿到最后1颗石子的人获胜。

不同的初始局面，决定了最终的获胜者，有些局面下先拿的Claris会赢，其余的局面Claris会负。

Claris很好奇，如果这n堆石子满足每堆石子的初始数量是不超过m的质数，而且他们都会按照最优策略玩游戏，那么NanoApe能获胜的局面有多少种。

由于答案可能很大，你只需要给出答案对10^9+7取模的值。

Input

输入文件包含多组数据，以EOF为结尾。

对于每组数据：

共一行两个正整数n和m。

每组数据有1<=n<=10^9, 2<=m<=50000。

不超过80组数据。

Output

 

Sample Input

3 7
4 13

Sample Output

6
120

对于该游戏SG[i]=i

根据SG定理，如果n堆石子的SG异或和为0则后手必胜

问题变成了，从小于m的素数中可重复选n个，异或和为0，有多少方案

当n=2时

可以理解为2个多项式“相乘”

$C[i]=\sum_{j^k=i}A[j]*B[k]$

这是类似与卷积的形式，其实这可以用FWT$O(mlogm)$实现

但不可能我们做n次FWT，因为n最大$10^{9}$

我们发现实际上一次FWT视作一次乘法，就可以看作初始数组$A^{n}$

A[i]=[i是素数]

于是可以快速幂

但实际上没必要在快速幂时用UFWT(逆运算),最后将答案数组UFWT就行了

这样比每次“相乘”时都FWT和UFWT要好了不少，从$O(mlogmlogn)$变成$O(mlogm+mlogn)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
bool vis[50001];
int tot,prime[50001],Mod=1e9+7,inv2,n,m;
int f[200001],a[200001];
void pre()
{int i,j;
  for (i=2;i<=50000;i++)
    {
      if (vis[i]==0)
    {
      tot++;
      prime[tot]=i;
    }
      for (j=1;j<=tot;j++)
    {
      if (i*prime[j]>50000) break;
      vis[i*prime[j]]=1;
      if (i%prime[j]==0) break;
    }
    }
}
int qpow(int x,int y)
{
  int res=1;
  while (y)
    {
      if (y&1) res=1ll*res*x%Mod;
      x=1ll*x*x%Mod;
      y>>=1;
    }
  return res;
}
void FWT(int *A,int len)
{int i,j,k;
  for (i=1;i<len;i<<=1)
    {
      for (j=0;j<len;j+=(i<<1))
    {
      for (k=0;k<i;k++)
        {
          int x=A[j+k],y=A[j+k+i];
          A[j+k]=x+y;
          if (A[j+k]>=Mod) A[j+k]-=Mod;
          A[j+k+i]=x-y;
          if (A[j+k+i]<0) A[j+k+i]+=Mod;
        }
    }
    }
}
void UFWT(int *A,int len)
{int i,j,k;
  for (i=1;i<len;i<<=1)
    {
      for (j=0;j<len;j+=(i<<1))
    {
      for (k=0;k<i;k++)
        {
          int x=A[j+k],y=A[j+k+i];
          A[j+k]=1ll*(x+y)*inv2%Mod;
          A[j+k+i]=1ll*(x-y+Mod)*inv2%Mod;
        }
    }
    }
}
int main()
{int len,i;
  inv2=qpow(2,Mod-2);
  pre();
  while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
      memset(f,0,sizeof(f));
      memset(a,0,sizeof(a));
      len=1;
      while (len<=m) len*=2;
      f[0]=1;
      for (i=1;i<=tot;i++)
    {
      if (prime[i]>m) break;
      a[prime[i]]=1;
    }
      FWT(f,len);FWT(a,len);
      while (n)
    {
      if (n&1)
        {
          for (i=0;i<len;i++)
        f[i]=1ll*f[i]*a[i]%Mod;
        }
      for (i=0;i<len;i++)
        a[i]=1ll*a[i]*a[i]%Mod;
      n>>=1;
    }
      UFWT(f,len);
      printf("%d\n",f[0]);
    }
}