联合省选 2025 D2T1 题解

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完全跟着特殊性质走的，就没有想偏过。

先看特殊性质 A，所有点的时间都一样，然后容易发现一定存在一种方案使得每个点只朝它的目标去移动，所以就做完了；再看特殊性质 B，每个点到目标之间没有其他点，但是时间会不一样，此时可以考虑按照时间从小到大排序，然后每个点依次移到目标即可。

再看特殊性质 C，结合 A B 得到启发：
1. 按照时间从小到大排序。
2. 一定存在一种方案使得每个点只朝它的目标去移动。

关于启发 2，读者可以自行思考一下，如果每个点的目标可能在左边也可能在右边，那么仍然成立吗？

这是显然的，不然 $b$ 就不会递增了。所以正解做法就是按照时间排序，然后模拟即可。

重点在于模拟方法，发现箱子的移动会导致连锁反应，最后得到的序列类似等差数列，于是可以把 $a_i$ 减去 $i$，然后线段树区间 cover，但是笔者选择了更为简单的方法。

考虑按照时间直接用 ``set`` 维护所有已经到目标的点，每次取出时间最小的点 $x$，我们先钦定目标都在右侧（即特殊性质 C），那么先看 $x$ 当前的位置，这是很好做的，只需要找出 $x$ 左侧第一个被主动移动过的点 $i$。（注意我们认为被其他箱子推动的箱子是被动移动）那么 $x$ 现在的位置就是 $\max (b_i + x - i, a_x)$，设这个为 $loc$。

接下来我们发现 $x$ 右侧会有一些在之前就被 $x$ 推动的箱子，这些箱子 $y$ 一定满足 $a_y<loc+y-x$，移项可得 $a_y - y < loc - x$，发现左边单调不降，于是直接二分。

之前没被 $x$ 推动的箱子这一轮也可能会被推动，但是它们一定是连续的一块，具体的，如果箱子 $y$ 会被推动，那么满足 $a_y<b_x+y-x$，移项之后仍然可以二分。得到最后一个在本轮会被推动的箱子后，就是一个等差数列求和公式，非常好算。

另外注意一种特殊情况，在 $b_x$ 前有一个点 $y$ 已经被移到了 $b_y$，那么 $y$ 及后面的点不需要考虑，至于 $y$ 会不会被 $x$ 推动，显然是不会的，不然 $b$ 就无法递增了。

于是特殊性质 C 也结束了，正解就是对于目标在左边对称处理。这里读者可能会有疑问：难道向左和向右的不会相交吗，还是那句话，显然是不会的，不然 $b$ 就无法递增了。于是我们在 $O(n\log n)$ 的时间内解决了这道题。

希望写线段树的会被卡成 TLE 让我排名靠前一点（