算法第四章上机实践报告

一、实践题目

程序存储问题

二、问题描述

设有n 个程序{1,2,…, n }要存放在长度为L的磁带上。程序i存放在磁带上的长度是 li，1≤i≤n。 程序存储问题要求确定这n 个程序在磁带上的一个存储方案， 使得能够在磁带上存储尽可能多的程序。 对于给定的n个程序存放在磁带上的长度，计算磁带上最多可以存储的程序数。

三、算法描述

1.贪心选择性质

设程序已经参照长度从小到大排序，（x1, x2, ..., xn）是程序储存问题的一个最优解，设k = min(1<=i<=n) {i | xi = 1}，如果给定的程序存储问题有解，则1<=k<=n。

① 当k = 1时，(x1, x2, ..., xn)是一个满足贪心选择性质的最优解。

② 当k > 1时，取y1 = 1，yk = 0，yi = xi，1<i<=n，i≠k，则

（连加，i = 1~n）liyi = l1 - lk + （连加，i = 1~n）lixi <= （连加，i = 1~n）lixi <= L

因此，(y1, y2, ..., yn)是所给程序存储问题的可行解。

另一方面，由（连加，i = 1~n）yi = （连加，i = 1~n）xi知，(y1, y2, ..., yn)是满足贪心选择性质的最优解。所以，程序存储问题具有贪心选择性质。

2.最优子结构性质

设(x1, x2, ..., xn)是程序存储问题的满足贪心选择性质的最优解，则x1 = 1，(x2, x3, ..., xn)是磁带长度为L-l1、待存放程序为｛2, 3, ..., n｝时相应程序存储问题的最优解。也就是说，程序存储问题具有最优子结构性质。

四、算法时间及空间复杂度分析

由程序存储问题的贪心选择性质和最优子结构性质，容易证明算法的正确性，算法的主要计算量在于将程序依照长度从小到大排序，所以算法的时间复杂度为O(nlogn)。没有使用辅助空间，空间复杂度为O(1)。

五、心得体会

贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键在于贪心策略的选择，贪心策略的证明需要从两个基本要素入手：最优子结构性质和贪心选择性质。编程时常使用排序算法进行排序，可能会用到结构体、优先队列等数据结构。