NPC问题：子集和、背包、装箱与双机调度

子集和：给定正整数的集合\(X=\{x_1,...x_n \}\)及正整数N，是否存在X的子集T，使得T中的元素之和等于N？

装箱：给定n件物品，物品j的重量为正整数\(w_j\)，\(1\le j\le n\)，以及箱子数K。规定每只箱子装入物品的总重量不超过正整数B，是否能用K只箱子装入所有物品？

双机调度：两台机器和n项作业\(J_1,...J_n\)。这两台机器完全相同，每一项作业可以在任意一台机器上进行，没有先后顺序。作业\(J_i\)的处理时间为\(t_i\)，\(1\le i\le n\)，截止时间为D，所有\(t_i\)和D都是正整数。是否能把n项作业分配给两台机器，在截止时间D内完成所有的作业？

问题包含关系：子集和是双机调度的子问题，双机调度是装箱问题的子问题

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例题4:子集和是NP完全的

子集和\(\in\)NP是显然的

下证 恰好覆盖\(\le_p\)子集和

证明思路

给定有穷集\(A=\{a_1,a_2,...a_n \}\)和A的子集的集合\(W=\{S_1,...S_n \}\)

对应的子集和实例为正整数集合\(X=\{x_1,...x_m\}\)及正整数N

相当于要构造一种对应关系，使得A可以被W恰好覆盖 \(\iff\) X中有子集元素之和为N

证明构造

每个\(x_j\)和N都可表示成\(kn\)位二进制数，这kn位分成n段，每段k位，其中\(k=\lceil \log _2(m+1)\rceil\)

N的每一段的第一位（最右的一位）为1，其余的为0。

\(x_j\)对应于子集\(S_j\)。当\(a_i\in S_j\)时，从左到右\(x_j\)的第i段的第一位为1，其余的为0。

实例如下所示

在这个例子中，\(n=4\)，\(m=3\)，\(k=\lceil \log_2 (4)\rceil = 2\)

所以就是用01来表示这个元素在集合中出现，00表示这个元素没有出现，例如\(\{a_1,a_2 \}\)表示为\(x_1 = 01010000\)

所以可以看到对于\(x_i\)来说，其分成n个1和0，用于表示这个元素是否出现；其中0和1的长度，取决于W中子集的总数。

构造正确性

可以注意到这种对应是非常直观的，如上例所示。\(S_2\)和\(S_3\)恰好覆盖A，也就对应着\(x_2+x_3=N\)。m大小的选取避免了产生进位的可能，所以这种对应可以证明是正确的。

定理：0-1背包是NP完全的

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例题5:双机调度是NP完全的

显然双机调度$\in \(NP，要证 子集和\)\le_p$双机调度

证明思路

任给一个子集和实例，由正整数的集合\(X=\{x_1,...x_n \}\)及正整数N组成

双机调度实例有n+2项作业\(J_1,...J_{n+2}\)，处理时间分别为\(x_1,...x_n,a,b\)， 截止时间为D。

相当于 存在X的子集T使得\(\sum_{x_i\in T}x_i = N ~\iff ~ N+a = \sum^n_{i=1}x_i - N+b = D\)

后者可以得到

\[a = \sum^n_{i=1}x_i-2N+b \]

构造正确性

假设X的子集使得\(\sum_{x_i\in T}x_i = N\)

将${J_i|x_i\in T }\cup {J_{n+1}} $分配给第一台机器，总时间为N+a

将${J_i|x_i\notin T }\cup {J_{n+2}} \(分配给第二台机器，总时间为\)\sum^n_{i=1}x_i-N+b$

只要调整a和b以及D使得之前的构造成立即可，比如\(b=\sum^n_{i=1}x_i+2N,a=2\sum^i_{i=1}x_i\)

此时\(D = 2\sum^n_{i=1}x_i+N\)

假设这n+2项作业可以分配到两台机器上，使得每台机器的工作时间都不超过D。因为\(\sum^n_{i=1}x_i+a+b=2D\)，所以两台机器的工作时间恰好为D。

因为\(a+b=2\sum^n_{i=1}x_i+2N>D\)，所以\(J_{n+1}\)和\(J_{n+2}\)不能分配给同一台机器。不妨设\(J_{n+1}\)分配给第一台机器，只要将除了\(J_{n+1}\)外的其他作业构成集合\(T\)，\(\sum_{x_i\in T}x_i = D-a=N\)。