NPC问题:顶点覆盖是NP完全的

只需证明 \(3SAT \le _p VC\)

证明思路

任给3SAT的一个实例I(I由变元\(x_1,...x_n\)的3元合取范式\(F=\and_{1\le j\le m} C_j\)构成)

需要构造一个VC的实例\(f(I)\)(由一个无向图\(G=<V,E>\)和非负整数K构成)

要求：3元合取范式F是可满足的 当且仅当 G有顶点数不超过K的顶点覆盖

证明构造

第一部分，构造两个顶点\(x_1\)和\(\overline x_i\)，以及连接他们的边\((x_i,\overline x_i)\)

从而任意顶点覆盖，在\(x_1\)和\(\overline x_i\)之间必须选择一个进行覆盖

第二部分，表示F的m个简单析取式，对于每一个简单析取式\(C_j = z_{j1}\or z_{j2}\or z_{j3}\)，构造三角形，三个顶点分别记为\([z'_{j1,1}],[z'_{j2,2}],[z'_{j3,3}]\)。

因为这三个点两两相连，构成了三角形，所以任何顶点覆盖必须在这三个顶点中取两个

从上面两部分看，第一部分一共n个点，至少取一个；第二部分一共3m个点，至少取2m个，所以V'至少有\(n+2m\)个顶点。令\(K=n+2m\)。

所以第三部分的选择要求是，3元合取式可满足\(\iff\)G有顶点数不超过\(n+2m\)的顶点覆盖

第三部分，连接\([z'_{jk,k}]\)和\(z'_{jk}\)。其中\(z'_{jk}\)定义如下

• \(z_{jk}=x_i\rightarrow z'_{jk}=x_i\)

• \(z_{jk}=\neg x_i\rightarrow z'_{jk}=\overline x_i\)

构造正确性

设t是F的成真赋值

对于每一个i，若\(t(x_i)=1\)，则取顶点\(x_i\)；若\(t(x_i)=0\)，则取顶点\(\overline x_i\)。这样，这n个点覆盖了第一部分

对于每一个j(\(1\le j\le m\))，\(C_j\)中至少有一个文字\(z_{jk}=1\)，第三部分中其引出的边对应的顶点在第一部分中已经被取

比如\(z_{jk}=x_i\)，那么说明\(x_i=1\)，第一部分已经取了；如果\(z_{jk}=\neg x_i\)，那么连接的是\(\overline x_i\)，\(z_{jk}=1\)意味着\(x_i=0\)，即\(\overline x_i\)被取

选择剩余的两个顶点即可，这样n+2m个点符合顶点覆盖要求

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反之，设\(V'\subset V\)是G的一个顶点覆盖，且\(|V'|\le K = n+2m\)

显然必然是n个属于第一部分，2m个属于第二部分(这是满足顶点覆盖的基本要求)

选择和上面相反的策略，将第二部分没有取的一个点，连接的如果是\(x_i\)，则\(x_i=1\)；否则\(x_i=0\)。此时三元组中必有至少一项为1，符合3SAT条件