20210824K 复盘
看题，发现是原题场，但是不会
t1 发现是很数学的题，绕半天还是只有 \({\cal O}(n)\) 暴力，不懂了，怀疑应该涉及某种科技
扭头去看 t4，发现分块即可，于是动手写 t4，中间犯了智障错误，调了好长时间
扭头去看 t3，写了一个乱搞上去
再去看 t2，哦发现涉及到一些匹配相关内容，但是不剩什么时间了，只好写了个暴力结束
s2oj202. A.完全平方数
确实存在整点计数科技。前置题目是 [HAOI]圆上的整点
"圆上的整点" 给出了这个问题的解决方案：
给定 \(r\)，问存在多少整数解 \((a,\ b)\) 使得 \(a^2 + b^ 2 = r^2\)。
其中 \(a,\ b\) 有序，可以为负数
再回头来看这道题。不妨设 \(N = n/2\)，那么存在两条限制：
- \(a+b = N\)
- \(ab = k^2\)
解这个方程组，发现 \(a,b\) 一定是 \(\dfrac{N \pm \sqrt{N^2 - (2k)^2}}{2}\) 中的一个。通过分析 \(N\) 是奇数还是偶数不难得出：如果 \(\sqrt{N^2 - (2k)^2}\) 是整数，减出来的结果一定是偶数
所以，只要 \(\sqrt{N^2 - (2k)^2}\) 为整数，那么就唯一对应了一种 \((a,\ b)\) 的无序取值方案
于是统计使得 \(N^2 - (2k)^2 = l^2\) 的 \(k\) 的个数，移项得到：
哦，这就和圆上的整点非常像了。但是还是稍微有点不同的，我们再做分析：
- 首先，圆上的整点中 \((A,\ B)\) 中的任意一个数是可以为负的，所以需要 \(\times 4\)，相当于是把 \([0,\ \pi /2)\) 中所有的合法点做水平和垂直对称。 而我们不需要，因为正负在平方之后是无差别的，即，我们只是想统计 \(\sqrt{N^2 - (2k)^ 2}\) 不同的值的个数，而不关心 \(k\) 是正是负之类的。所以不 \(\times 4\)
- 其次，我们要求拆出来的数中一个必须是偶数的平方。那么：
- 如果 \(N\) 是偶数，那么如果 \((2k)^2, l^2\) 都是偶数，没有关系，\(k,\ l\) 是有序的。如果都是奇数？两个奇数平方数之和不可能还是平方数，所以这种情况不可能存在，我们不用考虑它
- 否则，\((2k)^2,\ l^2\) 一定一个奇数一个偶数，我们强制让 \((2k)^2\) 是偶数，那么由有序统计变成无序统计，要 /2。特别的，\((0^2+N^2)\) 这种情况只会被统计一次，我们 -1 之后 /2
s2oj203. B.素数
将每个数看作一个节点，和为素数的两个点之间连边。
显然我们希望对这个图求最大匹配，设为 \(k\)。如果 \(m<k\)，那么答案为 \(2m\)，否则设 \(s\) 为，所有连边构成的连通块点数。答案为 \(\min(m+k,\ s)\)
容易发现，奇素数一定是有一个偶数 + 一个奇数加起来的
所以说如果没有 2，连出来的图是一个二分图。我们首先忽略 2 在图上跑最大匹配为 \(x\)。
然后，再把所有的 1 都看作是奇数，放在左部点，忽略 1 与 1 的连边，只保留 1 与偶数的连边，跑最大匹配得到 \(y\)，说明：我们尽量不用 1，匹配了 x 对，再尽量 1 之间不配对，匹配了 y-x 对，剩下的所有 1 再任意两两配对，总共最大匹配数为
s2oj204. C.广播
分为两种做法：显式建图与非显式建图，但是本质思想是一样的
非显式建图
考虑由根向某点传递信息的过程。对所有可能的树上路径的形态进行讨论，我们发现传播过程中只可能存在这两种路径：
即，层层向下，或者，从 x 传递到 u，u 向上走一段，再向下传递到 v。我们不妨称走到了 u，再走到 v 的这一步称为 u 传播到 v。
那么考虑所有的传播路径，对于一个合法的 u->v 传播路径，我们利用点分治，在该路径的重心处统计到它
具体而言，进行点分治过程，对于每个分治重心，对其所在的连通块进行 bfs，将所有点按照 bfs 序从大到小排序存储（这时你用的是 vector 存储）。同时每个节点存下所有管辖他的分治重心节点编号，即存下点分树父亲。这一步的时间和空间复杂度都是 \({\cal O}(n\log n)\)
点分治过程结束。再进行一遍 bfs，这一遍 bfs 用来求解答案。因为每次传播花费 1 的代价所以选择 bfs
首先 q 里只有 1。然后：
- 取出队头节点 x
- 顺次枚举 x 在点分树上的某个父亲 f 。然后，从 f 所存的 vector 里倒序枚举该重心统辖下的连通块的点（倒序是先取出深度小的）设为 y，如果 x->f 的长度 + f->y 的长度 <= val[x]，那么尝试更新 y，如果能更新就把 y push 入 q。pop_back 这个 vector。
就行了
显式建图做法
基本思路一样，但是可能更好理解一点。
只进行一边点分治，不构造点分树。对于每个重心 u，dfs 一遍收集所有连通块节点，设最大的深度为 maxdep。
然后拉一条 maxdep+1 个点的链出来，这些点充当该连通块中每一层所有点的索引。链中由深度大的索引点单向连向深度小的点，边权为 0。然后，枚举每个点 v，由代表其深度的索引点向 v 连边，边权为 0
然后，每个点向索引 val[v] - dep[v] 深度的链上节点连边，边权为 1.表示，我这个点可以跨出 u 的这棵子树传播信息到另一棵子树中 val[v] - dep[v] 及更浅的点。不过需要多花 1 的代价。
上述点分治过程完成，从 1 开始做 01bfs 得到每个点的 dis 就是答案。
s2oj.777. D.【2019FJ省队集训】树
大力分块，预处理 块-点 之间的答案，边角使用欧拉序 \({\cal O}(1)\) 查询两点之间的 dis 即可，复杂度 \({\cal O}(n\sqrt{n}+q\sqrt{n})\)
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