代数中的几何类比
今天讨论班谈到了这个事儿, 我把目前我知道的一部分代数对几何概念类比陈列如下, 欢迎补充.
- 对于交换环$A$, 其谱$\operatorname{spec} A$被定义为全体素理想的集合, 其中被赋予了Zariski拓扑, 其中闭集族形如$\mathbf{V}(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\in \operatorname{spec}A: \mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}\}$, 其中$\mathfrak{a}$是$A$的理想(不必为真理想), 可以验证这构成一个拓扑.
这类比于一个拓扑空间(微分流形)$X$, 考虑全体$X$到$\mathbb{R}$的连续(光滑)函数环$\mathscr{C}(X)$(或$\mathscr{C}^{\infty}(X)$, 其中加法乘法为逐项乘法. 从环到谱的过程在于从连续函数环中还原出被环作用的拓扑空间, 从而使得环上能够有几何考量. 例如这里每一个$X$中的点$p\in X$都对应着一个计算同态$$\varphi_p: \mathscr{C}(X)\longrightarrow \mathbb{R}\qquad f\mapsto f(p)$$容易验证, 这个映射的核是极大理想$$\mathfrak{m}_p=\{f\in \mathscr{C}(X):f(p)=0\}$$于是这定义了$X\to \{\textrm{$\mathscr{C}(X)$的$\mathbb{R}$极大理想}\}$的映射. 在一些情况下这是同胚, 例如$X$是紧致空间或微分流形时.
反过来看代数意义下, $a\in A$视作$\operatorname{spec} A$的函数, 这个映射就是$$a:\mathfrak{p}\mapsto a\bmod \mathfrak{p}\in \textrm{整环}A/\mathfrak{p}\subseteq A/\mathfrak{p}\textrm{的商域}$$于是这定义了$A\to \{f: \operatorname{spec} A\to \textrm{某个域}\}$的同态, 其核应当是全体极大理想的交, 即这个环的Jacobson根基$\operatorname{rad} R$. 在$\operatorname{rad} R=0$时, 称$R$是Jacobson单的, 或几何的. 换句话说, 如果一个环是几何的, 那么将这个环表示成拓扑空间的函数环的映射是单的, 或者用更代数的语言, 是忠实的. 这样, $\mathbf{V}(\mathfrak{a})$就是$\mathfrak{a}$公共的零点集.
对于子空间$Y\subseteq X$, 自然也有$\mathscr{C}(Y)$, 且有限制同态$$\mathscr{X}\longrightarrow \mathscr{C}(Y)\qquad f\longmapsto f|_Y$$同样, 类比$S\subseteq \operatorname{spec}A$, 若$a,b\in R$在$S$上限制相同, 即$a-b\in \mathfrak{p}$对每一个$\mathfrak{p}\in \operatorname{spec}A$, 若记$\mathfrak{a}=\bigcap S$, 实际上, 这个限制同态就是自然同态$A\to A/\mathfrak{a}$.
- 一个交换环$A$, 素理想$\mathfrak{p}$, 在$\mathfrak{p}$点的局部化$A_{\mathfrak{p}}$是将所有$A\setminus \mathfrak{p}$的元素放在分母上的局部化. 局部环指的是只有一个极大理想的交换环. 局部化$A_{\mathfrak{p}}$对应的极大理想被记为$\mathfrak{p}\mathfrak{A}_{\mathfrak{p}}=\mathfrak{m}$, 则有$A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{m}$-线性空间$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$, 这能反映出环的一些正则性质.
这类比于微分几何中函数芽的概念, 因为某一点的(方向)导数只和这一点附近的情况有关, 为了关注这一点附近的情况, 对于微分流形$M$上一点$p$, 定义$$\mathscr{C}^\infty_p(M)=\left\{(U,f): \textrm{$U$是$p$的邻域}f\in \mathscr{C}^\infty(U)\right\}/\sim$$其中$$(U,f)\sim (V,g)\iff f|_{U\cap V}=g|_{U\cap V}$$如此构造的$\mathscr{C}^\infty_p(M)$是局部环, 其极大理想就是$\{(U,f)\in \mathscr{C}^\infty_p(M): f(p)=0\}$, 因为熟知的微积分的结论, 如$f(p)\neq 0$, 则存在$p$的邻域$U$使得$f(U)\neq 0$, 这时$1/f$在$U$上依旧连续.
反过来代数地看, 可以证明, 在$A_\mathfrak{p}$就等于在这一点的类似定义“函数芽”.
在微分几何中, 想要定义切空间$\mathsf{T}M$为某一点处的微小变动组成的线性空间, 为了将其严格化, 需要注意到每一个微小变动都引发一个光滑函数环的微小变动, 因此, 微分几何中会定义切空间为全体方向导数, 而每个$f\in \mathscr{C}^{\infty}_p(M)$都诱导了切空间的线性函数, 这个线性函数为了区别, 会记成$\mathrm{d}f$. 而一旦局部微分同胚于欧式空间的话, 在局部就有了坐标(不妨假设这点对应到$0$), 因此切空间的一组基可以取对坐标在$0$处的微分$\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_{x=0}$. 显然, $\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_{x=0}x^j=\delta^j_{i}$, 故根据前面的记号$\mathrm{d}x^i$对偶于$\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_{x=0}$.
而任何一个函数$f$, 根据Taylor定理, 都可以写成$$f=f(0)+\underbrace{\sum_{i}\frac{\partial f}{\partial x^i}(0)x^i}+\ldots$$此时$df$在$\mathrm{d}x$下的坐标就是$\frac{\partial f}{\partial x^i}(0)$, 我们可以将其等同于中间大括号一段, 为了不重不漏地得到中间这段, 我们需要抛弃常数项(即取$f(0)=0$的那些函数), 以及抛去高阶近似(即商去$\mathfrak{m}^2$), 故$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$实际上类比于切空间的对偶空间, 换句话说余切空间.
- 对于$A$模$M$, 也可以类似地定义局部化$M_{\mathfrak{p}}$, 并且定义支集$\operatorname{Supp}M=\{\mathfrak{p}\in \operatorname{spec}A: M_{\mathfrak{p}}\neq 0\}$.
在微分几何中, 切向量场指的是在每一点都指定一个切向量, 且满足一定的光滑条件. 全体切向量场$\mathscr{C}^{\infty}(\mathsf{T}M)$有显然地被$\mathscr{C}^\infty(M)$的作用, 对于切向量场$X$, $f\cdot X$还是一个向量场, 具体来说, 在$p$点指定的切向量时$f(p)X_p$.
更一般地, 模应该类比于张量场, 局部化则也是类比之前对函数环的局部化.而$M_{\mathfrak{p}}$表明在$\mathfrak{p}$点附近只有$0$向量场, 从而这个向量场在$\mathfrak{p}$附近消失, 印证了$\operatorname{Supp}$的记号.
在欧式空间$\mathbb{R}^n$中, 任何切向量都形如$\sum_i f_i\frac{\partial}{\partial x^i}$, 这一坐标下定义了切向量场的“一组基”, 更准确地说是一个自由生成元. 但是对于一般的流形则一般没有这个结论, 只能在局部上有这个坐标.
所以一个模是自由的类比于整体坐标, 若局部化之后是自由的类比于有局部坐标.
