【学习笔记】线性代数——基础定义、定理汇总

$\color{red}\Large{{\mathcal{M}}\color{#fbe044}{\mathcal{y}}\ \ \color{green}{\mathcal{B}}\color{#46f1e7}{\mathcal{l}}\color{blue}{\mathcal{o}}\color{purple}{\mathcal{g}}}$

考前突击记背用awa

一：【线性空间】

1.【线性相关与线性无关】

【定义】

向量组 $\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}$ 线性相关 $\Longleftrightarrow \exist$ 不全为 $0$ 的 $\lambda_{1},...,\lambda_n \in \mathrm{F},$ 使 $\lambda_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+...+\lambda_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{0}$ 成立
向量组 $\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}$ 线性无关 $\Longleftrightarrow$ $\lambda_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+...+\lambda_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{0}$ 仅有唯一 $0$ 解 $\lambda_1=...=\lambda_n=0$
空集的线性组合是零向量，空集合线性无关
设 $S\subseteq \mathrm{V},$ $S$ 的任一有限子集 $S_{1}=\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}$ 的任一线性组合称为 $S$ 的线性组合；如果 $S$ 的某个有限子集 $S_{1}=\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}$ 线性相关，则称 $S$ 线性相关

【定理、推论】

一个向量组成的向量组 $\{\boldsymbol {\alpha}_{1}\}$ 线性相关 $\Longleftrightarrow \boldsymbol {\alpha}_{1}=\boldsymbol {0}$
向量组 $\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}$ 线性相关 $\Longleftrightarrow \exist \boldsymbol {\alpha}_{i}$ 是其余向量的线性组合
向量组 $\{\boldsymbol {\alpha}_{1},...,\boldsymbol {\alpha}_{n}\}$ 中存在某个 $\boldsymbol {\alpha}_{i}$ 是它前面的向量的线性组合 $\Longleftrightarrow$ $\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}$ 线性相关
向量组 $\{\boldsymbol {\alpha}_{1},...,\boldsymbol {\alpha}_{n}\}$ 中每个 $\boldsymbol {\alpha}_{i}$ 都不是它前面的向量的线性组合 $\Longleftrightarrow$ $\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}$ 线性无关
向量组 $\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}$ 中存在一个子集线性相关 $\Longrightarrow \{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}$ 线性相关
向量组 $\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}$ 线性无关 $\Longrightarrow\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}$ 的每个子集都线性无关
设 $\boldsymbol {\alpha}_{1},...,\boldsymbol {\alpha}_{m}\in \mathrm{F}^{n},$ 若 $m>n,$ 则 $\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{m}\}$ 线性相关
$\mathrm{F}^{n}$ 中线性无关的向量最多有 $n$ 个
$\forall \boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\in F_{n},$ 且线性无关，则 $\forall \boldsymbol{\beta}\in \mathrm{F}^{n},$ 存在唯一确定系数 $x_1,...x_n$ 使 $\boldsymbol{\beta}$ 写成 $\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}$ 的线性组合形式：$\boldsymbol{\beta}=x_1\boldsymbol{\alpha_1}+...+x_n\boldsymbol{\alpha_n}$

2.【向量组的秩】

【定义】

设 $ S\subseteq\mathrm{V},$ 若 $ M={\boldsymbol{\alpha}_1,...\boldsymbol{\alpha}_n}$ 是 $S$ 的线性无关子集，且满足 $\forall\boldsymbol {\alpha}\in S,$ $M\cup{\boldsymbol{\alpha}}=\{\boldsymbol{\alpha}_1,...\boldsymbol{\alpha}_n,\boldsymbol{\alpha}\}$ 线性相关，就称 $M$ 是 $S$ 的极大线性无关组
若向量组 $S_1,S_2$ 互为线性组合，则称 $S_1$ 与 $S_{2}$ 等价
向量组 $S$ 的任一极大线性无关组所含向量个数 $r$ 成为向量组的秩，记作 $\mathrm{rank}\ S$
矩阵 $\boldsymbol A$ 的行（列）向量组的秩称为矩阵的行（列）秩
矩阵 $\boldsymbol A$ 的行秩和列秩相等，称为 $\boldsymbol A$ 的秩，记作 $\mathrm{rank}\ \boldsymbol A$
$\mathrm{rank}\ \boldsymbol O=0$

【定理、推论】

设 $S\subseteq {V},$ $M=\{\boldsymbol{\alpha}_1,...\boldsymbol{\alpha}_n\}$ 是 $S$ 的线性无关子集，则有：$M$ 是 $S$ 的极大线性无关组 $\Longleftrightarrow S$ 中所有向量都是 $M$ 的线性组合
设 $S=\{\boldsymbol{0}\},$ 则 $S$ 的极大线性无关组是 $\varnothing$
设 $S_{2}$ 是 $S_1$ 的线性组合，且 $|S_2|>|S_1|,$ 则 $S_2$ 线性相关
设 $S_{2}$ 是 $S_1$ 的线性组合，且 $S_2$ 线性无关，则 $|S_2|\leqslant |S_1|$
设 $S_{2}$ 与 $S_1$ 等价，则 $\mathrm{rank}\ S_2=\mathrm{rank}\ S_1$

3.【子空间】

【定义】

线性空间满足加法结合律、加法交换律、乘法对向量加法分配律、乘法对数的加法分配律、乘法对数的结合律，有加法单位元（零向量）、加法逆元（负向量）、数乘单位向量
子空间满足加法封闭、数乘封闭
定义 $V=\{\boldsymbol{0}\}$ 为零空间
生成的子空间：$F^{n}$ 的非空子集 $S$ 的全体线性组合组成的子空间，记作 $V(S)$ 或 $V(\boldsymbol{\alpha_1},...,\boldsymbol{\alpha_{n}})$
无穷维空间：有无限多个线性无关的向量
$F^{n\times m}$ 中任一矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组在 $F^{n}$ 中生成的空间成为 $\boldsymbol{A}$ 的行空间
$F^{n\times m}$ 中任一矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组在 $F^{n}$ 中生成的空间成为 $\boldsymbol{A}$ 的列空间

【定理、推论】

设 $F$ 上 $n$ 元齐次线性方程组的系数矩阵为 $\boldsymbol A$，则它的解空间的维数为：$\mathrm{dim}\ V_{A}=n-\mathrm{rank}\ \boldsymbol{A}$

4.【线性方程组】

【定义】

对于 $n$ 元非齐次线性方程组 $\left\{\begin{aligned} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n} &=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n} &=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots\cdots\cdots& \\ a_{n1} x_{1}+a_{n2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}&=b_{n} \end{aligned}\right.$，写成 $x_{1}\boldsymbol{\alpha_{1}}+...+x_{x}\boldsymbol{\alpha_{n}}=\boldsymbol{\beta}$ 的形式，则称系数矩阵为 $\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha_1},...,\boldsymbol{\alpha_n})$，增广矩阵为 $\widetilde{\boldsymbol{{A}}}=(\boldsymbol{\alpha_1},...,\boldsymbol{\alpha_n},\boldsymbol\beta)$

【定理、推论】

设 $S=\{\boldsymbol{\alpha_1},...,\boldsymbol{\alpha_n}\}$，则：方程组有解 $\Longleftrightarrow \beta \in V(S)$ $\Longleftrightarrow \mathrm{rank}\ \boldsymbol{A}=\mathrm{rank}\ \widetilde{\boldsymbol{A}}$

5.【同构与同态】

【定义】

同构：若存在双射 $\sigma:V_1\to V_2$ 满足 $\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V_{1},\sigma(\boldsymbol{\alpha+\beta})=\sigma(\boldsymbol{\alpha})+\sigma(\boldsymbol{\beta})$ 且 $\forall\boldsymbol{\alpha}\in V_{2},\lambda\in F,\sigma(\lambda\boldsymbol{\alpha})=\lambda\sigma(\boldsymbol{\alpha})$，则称 $V_1$ 与 $V_2$ 同构，$\sigma$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的同构映射，若 $V_1=V_2$，则称 $\sigma$ 为 $V_1$ 的自同构
同态：若存在映射 $\varphi:V_1\to V_2$ 满足 $\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V_{1},\varphi(\boldsymbol{\alpha+\beta})=\varphi(\boldsymbol{\alpha})+\varphi(\boldsymbol{\beta})$ 且 $\forall\boldsymbol{\alpha}\in V_{2},\lambda\in F,\varphi(\lambda\boldsymbol{\alpha})=\lambda\varphi(\boldsymbol{\alpha})$，则称 $V_1$ 与 $V_2$ 同态，$\sigma$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的同态映射

【定理、推论】

设 $\sigma$ 为 $V_1$ 到 $V_2$ 的同构映射，则：$S$ 线性相关（无关）$\Longleftrightarrow \sigma(S)$ 线性相关（无关），$M$ 为 $V_1$ 的基 $\Longleftrightarrow \sigma(M)$ 为 $V_2$ 的基
设 $\varphi$ 为 $V_1$ 到 $V_2$ 的同态映射，则：$S$ 线性相关 $\Longrightarrow$ $\varphi(S)$ 线性相关；$\varphi(S)$ 线性无关 $\Longrightarrow$ $S$ 线性无关

6.【子空间的交、与和】

【定义】

子空间的交：$\bigcap\limits_{i\in I}=\{\boldsymbol {\alpha}|\boldsymbol\alpha\in W_{i},\forall i\in I\}$
子空间的和：$W_1+...+W_m=\{\boldsymbol {\beta_1}+...\boldsymbol {\beta_m}|\boldsymbol\beta_i\in W_{i},\forall i\in I\}$
直和：$W=W_1+...+W_m$，$\forall w\in W$ 有唯一分解式 $w=w_1+...+w_m\ (w_i\in W_i)$，记作 $W=W_1\oplus...\oplus W_m$

【定理、推论】

$\mathrm{dim}\ (W_1+W_2)=$ $\mathrm{dim}\ W_1+\mathrm{dim}\ W_2-\mathrm{dim}\ (W_1\bigcap W_2)$
$\mathrm{dim}\ (W_1+...+W_m)=\mathrm{dim}\ W_1+...+\mathrm{dim}\ W_m$ $\Longleftrightarrow$ $\forall 1\leqslant i\leqslant m-1,(W_1+...W_i)\bigcap W_{i+1}=0$
$W_1+...W_m$ 为直和的充要条件为：$w_1+...+w_m=0\ (w_i\in W_i,\forall 1\leqslant i\leqslant m)$ $\Longleftrightarrow$ $w_1=...=w_m=0$
$W_1+W_2=W_1\oplus W_2\Longleftrightarrow W_1\bigcap W_2=0$ $\Longleftrightarrow$ $\mathrm{dim}\ (W_1+W_2)=$ $\mathrm{dim}\ W_1+\mathrm{dim}\ W_2$

二：【行列式】

1.【行列式定义】

【定义】

排列 $\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)$ 中逆序的个数称为这个排列的逆序数，记为 $\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)$，逆序数为奇（偶）数时将这个排列称作奇（偶）排列
规定奇偶符号：$\operatorname{sgn}\left(j_{1} \cdots j_{n}\right)=(-1)^{\tau\left(j_{1} \cdots j_{n}\right)}= \begin{cases}1, & \text { 当 }\left(j_{1} \cdots j_{n}\right) \text { 是偶排列 } \\ -1, & \text { 当 }\left(j_{1} \cdots j_{n}\right) \text { 是奇排列 }\end{cases}$
定义行列式：$\Delta=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\sum\limits_{\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)} \operatorname{sgn}\left(j_{1} \cdots j_{n}\right) a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}}$
对于矩阵 $\boldsymbol A=(a_{ij})_{m\times n},$ 记行列式 $\Delta=\mathrm{det}\ \boldsymbol A$

【定理、推论】

$\mathrm{det}\ \boldsymbol A=\mathrm{det}\ \boldsymbol A^{\mathrm{T}}, \Delta=\Delta^{\mathrm{T}}$
行列式 $\Delta$ 的某一行 $\boldsymbol {\alpha}_{k}$ 拆成两个行向量之和 $\boldsymbol {\alpha}_{k}=$ $\boldsymbol {\beta}_{k}+\boldsymbol {\gamma}_{k}$，则 $\Delta$ 可以相应地写成两个行列式 $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ 之和，其中 $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ 的第 $k$ 行分别为 $\boldsymbol {\beta}_{k},\boldsymbol {\gamma}_{k}$，其余各行与 $\Delta$ 相同
行列式的任意一行乘以常数 $\lambda,$ 行列式值变为原来的 $\lambda$ 倍
行列式两行互换，行列式值变为原来的相反数
行列式某一行（列）的 $\lambda$ 倍加到另一行（列），行列式值不变
范德蒙德 $(\text{Vandermonde})$ 行列式：$V\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{array}\right|=\prod\limits_{1 \leqslant j<i \leqslant n}\left(x_{i}-x_{j}\right)$

2.【展开定理】

【定义】

余子式：$M_{ij}$ 是从 $\Delta$ 中删去 $a_{i,j}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩下的元组成的行列式，称为 $a_{ij}$ 的余子式
代数余子式：$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

【定理、推论】

$\Delta=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$
$\sum_{j=1}^{n} a_{k j} A_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} \Delta, & \text { 当 } k=i, \\ 0, & \text { 当 } k \neq i ; \end{array} \quad \sum_{i=1}^{n} a_{i k} A_{i j}= \begin{cases}\Delta, & \text { 当 } k=j, \\ 0, & \text { 当 } k \neq j .\end{cases}\right.$
由拉普拉斯 $(\mathrm{Laplace})$ 展开定理知：若 $n$ 阶行列式 $|\boldsymbol A|$ 的所有 $r\ (r<n)$ 阶子式都等于 $0,$ 则 $|\boldsymbol A|=0$

3.【Cramer 法则】

【定理、推论】

$\text{Cramer}$ 法则：如果 $n$ 元线性方程组 $\left\{\begin{aligned} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n} &=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n} &=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots\cdots\cdots& \\ a_{n1} x_{1}+a_{n2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}&=b_{n} \end{aligned}\right.$ 的系数行列式 $\Delta\neq 0,$ 则方程组有唯一解 $\left(x_{1}, \cdots, x_{j}, \cdots, x_{n}\right)=\left(\frac{\Delta_{1}}{\Delta}, \cdots, \frac{\Delta_{j}}{\Delta}, \cdots, \frac{\Delta_{n}}{\Delta}\right),$ 其中 $\Delta_{j}$ 是将 $\Delta$ 的第 $j$ 列各元分别换成 $b_1,...,b_n$ 得到的行列式
设 $\boldsymbol A$ 为方阵，则有： $n$ 元非齐次线性方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol b$ 有唯一解 $\Longleftrightarrow $ $n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol 0$ 仅有零解 $\Longleftrightarrow $ $|\boldsymbol A|\neq 0 \Longleftrightarrow \boldsymbol A$ 的行、列向量线性无关 $ \Longleftrightarrow \mathrm{rank}\ \boldsymbol A=n$

三：【矩阵】

1.【矩阵运算】

【定义】

空矩阵：$\boldsymbol A=(a_{ij})_{n\times m},$ 其中 $nm=0$
对角元素：$a_{ii}$
上三角元素：$a_{ij},$ 其中 $i<j$
下三角元素：$a_{ij},$ 其中 $i>j$
零矩阵：所有元素都为 $0$
上三角矩阵：下三角元素全为 $0$，$\boldsymbol A=\left(\begin{array}{cccc} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1 n} \\ 0 & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {a}_{nn} \end{array}\right)$
下三角矩阵：上三角元素全为 $0$，$\boldsymbol A=\left(\begin{array}{cccc} {a}_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{n 1} & {a}_{n 2} & \cdots &{a}_{nn} \end{array}\right)$
迹：$tr(\boldsymbol A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$
对角阵：$\mathrm{diag}(a_{11},...,a_{nn})$
标量阵：$\mathrm{diag}(\lambda,...,\lambda)$
单位阵：$\boldsymbol I=\mathrm{diag}(1,...,1)$
基础矩阵：$a_{ij}=1$，其他元素都为 $0$，记作 $\boldsymbol E_{ij}$
对称方阵：满足 $\boldsymbol A^\mathrm{T}=\boldsymbol A$
反对称方阵（斜对称方阵）：满足 $\boldsymbol A^\mathrm{T}=-\boldsymbol A$
正交矩阵：$\boldsymbol A^\mathrm{T}\boldsymbol A=\boldsymbol I$
共轭：对所有元素取共轭
共轭转置：简记 $\overline {\boldsymbol A} ^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol A^{\mathrm{H}}$
厄米特 $(\mathrm{Hermite})$ 方阵：满足 ${\boldsymbol A}^\mathrm{H}=\boldsymbol A$
反厄米特 $(\mathrm{Hermite})$ 方阵：满足 ${\boldsymbol A}^\mathrm{H}=-\boldsymbol A$

【定理、推论】

${(\boldsymbol A^{\mathrm{T}})}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol A$
$|\boldsymbol A^\mathrm{T}|=|\boldsymbol A|$
$(\boldsymbol A+\boldsymbol B)^\mathrm{T}=\boldsymbol A^\mathrm{T}+\boldsymbol B^\mathrm{T}$
$(\lambda \boldsymbol A)^\mathrm{T}=\lambda \boldsymbol A^\mathrm{T}$
$(\boldsymbol A\boldsymbol B)^\mathrm{T}=\boldsymbol B^\mathrm{T}\boldsymbol A^\mathrm{T}$
$\overline{\boldsymbol A+\boldsymbol B}=\overline {\boldsymbol A}+\overline {\boldsymbol B}$
$\overline {\lambda \boldsymbol A}=\overline \lambda\ \overline {\boldsymbol A}$
$\overline{\boldsymbol A\boldsymbol B}=\overline {\boldsymbol A}\ \overline {\boldsymbol B}$
$\boldsymbol A^{\mathrm{H}}=\overline {\boldsymbol A} ^{\mathrm{T}}=\overline{\boldsymbol A^{\mathrm{T}}}$
$tr(\boldsymbol{AB})=tr(\boldsymbol{BA})$
$tr(\boldsymbol A+\lambda \boldsymbol{B})=tr(\boldsymbol{A})+\lambda tr(\boldsymbol{B})$

2.【矩阵分块】

【定义】

准上三角矩阵：${\boldsymbol A}=\left(\begin{array}{cccc} {\boldsymbol A}_{11} & {\boldsymbol A}_{12} & \cdots & {\boldsymbol A}_{1 n} \\ 0 & {\boldsymbol A}_{22} & \cdots & {\boldsymbol A}_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {\boldsymbol A}_{nn} \end{array}\right)$
准下三角矩阵：${\boldsymbol A}=\left(\begin{array}{cccc} {\boldsymbol A}_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ {\boldsymbol A}_{21} & {\boldsymbol A}_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {\boldsymbol A}_{n 1} & {\boldsymbol A}_{n 2} & \cdots & {\boldsymbol A}_{nn} \end{array}\right)$
准对角矩阵：$\mathrm{diag}(\boldsymbol A_{11},...,\boldsymbol A_{nn})$

【定理、推论】

求解关于 $\boldsymbol X$ 的矩阵方程 $\boldsymbol A\boldsymbol X=\boldsymbol B,$ 其中 $\boldsymbol A$ 是行列式不为 $\boldsymbol 0$ 的 $n$ 阶方阵，$\boldsymbol B$ 是任意 $n\times m$ 矩阵：对矩阵 $(\boldsymbol A\ \boldsymbol B)$ 进行初等行变换，使其变为 $(\boldsymbol I\ \boldsymbol C)$，此时$\boldsymbol C$ 即为所求解

3.【可逆矩阵】

【定义】

奇异方阵：满足 $|\boldsymbol A|=0$
伴随方阵：$\boldsymbol A^{*}=(A_{ji})_{n\times n},$ 其中$A_{ij}$ 为第 $(i,j)$ 元的代数余子式

【定理、推论】

$\boldsymbol A \boldsymbol A^{*}=\boldsymbol A^{*} \boldsymbol A=|\boldsymbol A|\boldsymbol I_{(n)},$ $\boldsymbol A^{-1}=\frac{\boldsymbol A^{*}}{|\boldsymbol A|}$
$\boldsymbol A$ 可逆 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A$ 是方阵且 $|\boldsymbol A|\neq 0$
$(\boldsymbol A^{-1})^{-1}=\boldsymbol A$
$(\boldsymbol A\boldsymbol B)^{-1}=\boldsymbol B^{-1}\boldsymbol A^{-1}$
$(\lambda \boldsymbol A)^{-1}=\lambda^{-1} \boldsymbol A^{-1}$
$(\boldsymbol A^\mathrm{T})^{-1}=(\boldsymbol A ^{-1})^{\mathrm{T}}$
$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{S} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{I} \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{I} & -\boldsymbol{S} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{I} \end{array}\right),$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{S} & \boldsymbol{I} \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{S} & \boldsymbol{I} \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{S} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{A}^{-1} & -\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{S}\boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right),$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{S} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{A}^{-1} &\boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{S}\boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

4.【初等矩阵与初等变换】

【定义】

初等方阵：由单位阵经过一次初等变换得到的方阵，$\boldsymbol{P}_{i j}=\boldsymbol{I}-\boldsymbol{E}_{i i}-\boldsymbol{E}_{j j}+\boldsymbol{E}_{i j}+\boldsymbol{E}_{j i},$ $\boldsymbol{D}_{i}(\lambda)=\boldsymbol{I}+(\lambda-1) \boldsymbol{E}_{i i},$ $\boldsymbol{T}_{i j}(\lambda)=\boldsymbol{I}+\lambda \boldsymbol{E}_{i j}$

【定理、推论】

对矩阵作初等行（列）变换，效果相当于对矩阵左（右）乘相应的初等方阵
任意 $n\times m$ 矩阵 $\boldsymbol A$ 都可以通过有限次初等变换化为 $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{I}_{(r)} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O} \end{array}\right),$ 其中 $r=\mathrm{rank}\ \boldsymbol A$
对任意 $n\times m$ 矩阵 $\boldsymbol A,$ 存在可逆方阵 $\boldsymbol P,\boldsymbol Q$ 使得 $\boldsymbol P \boldsymbol A\boldsymbol Q=\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{I}_{(r)} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$
方阵 $\boldsymbol A$ 可逆 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A$ 可以表示为若干个初等方阵的乘积
可逆方阵 $\boldsymbol A$ 可以经过有限次初等变换化为单位阵
$\boldsymbol S=\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{D} \end{array}\right),$ 其中 $\boldsymbol A,\boldsymbol D$ 为方阵，且 $\boldsymbol A$ 可逆，则有：$\boldsymbol S$ 可逆 $\Longleftrightarrow$ $\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol A & \boldsymbol O \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{D-C A}^{-1} \boldsymbol{B} \end{array}\right)$可逆 $\Longleftrightarrow \boldsymbol {D-C}\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B$ 可逆

5.【矩阵乘法与行列式】

【定理、推论】

$\boldsymbol A\boldsymbol B$ 的 $n$ 个行向量都是 $\boldsymbol B$ 的 $m$ 个行向量的线性组合
比内-柯西 $(\mathrm{Binet-Cauthy})$ 公式：设 $\boldsymbol A\in F^{n\times m},\boldsymbol B\in F^{m\times n},$ 则 $|\boldsymbol{AB}|=\begin{cases}0&n>m\ |\boldsymbol A|\cdot |\boldsymbol B|&n=m\ \sum\limits_{1 \leqslant k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{r} \leqslant m} \boldsymbol A\left(\begin{array}{cccc}
i_{1} & i_{2} & \cdots & i_{r} \
k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{r}
\end{array}\right) \boldsymbol B\left(\begin{array}{cccc}
k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{r} \
j_{1} & j_{2} & \cdots & j_{r}
\end{array}\right)&n<m\end{cases} $
设 $\boldsymbol A\in F^{n\times m},\boldsymbol B\in F^{m\times n},$ 则 $\left|\boldsymbol{I}_{(n)}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}\right|=\left|\boldsymbol{I}_{(m)}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}\right|$
设 $\boldsymbol A,\boldsymbol D\in F^{n\times n},$ $\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{D} \end{array}\right|= \begin{cases}|\boldsymbol{A}|\left|\boldsymbol{D}-\boldsymbol{C A}{ }^{-1} \boldsymbol{B}\right|, & \text { 当 } \boldsymbol{A} \text { 可逆 } \\ |\boldsymbol{D}|\left|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{C}\right|, & \text { 当 } \boldsymbol{D} \text { 可逆 }\end{cases}$
设 $\boldsymbol A\in F^{n\times n},\boldsymbol B_1\in F^{n\times m},\boldsymbol B_2\in F^{m\times n},\boldsymbol C\in F^{m\times m}$ $\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B_1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{C} \end{array}\right|=|\boldsymbol A||\boldsymbol C|,$ $\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{B_2} & \boldsymbol{C} \end{array}\right|=|\boldsymbol A||\boldsymbol C|$
设 $\boldsymbol A,\boldsymbol B,\boldsymbol C\in F^{n\times n},$ $\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|=(-1)^{n}|\boldsymbol B||\boldsymbol C|$
设 $\boldsymbol B\in F^{n\times n},\boldsymbol C \in F^{m\times m}$ $\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|=(-1)^{nm}|\boldsymbol B||\boldsymbol C|$
设 $\boldsymbol A,\boldsymbol B\in F^{n\times n},$ $\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{A} \end{array}\right|=|\boldsymbol {A+B}||\boldsymbol {A-B}|$

6.【矩阵的秩与相抵】

【定义】

秩：$\boldsymbol A$ 所含的非零子式的最高阶数 $r$ 定义为 $\boldsymbol A$ 的秩，记作 $\mathrm{rank}\ \boldsymbol A=r$
相抵（等价）：若 $\boldsymbol A$ 可以通过一系列初等变换化为 $\boldsymbol B,$ 则称 $\boldsymbol A$ 与 $\boldsymbol B$ 相抵（等价）
相抵标准形：$\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{I}_{(r)} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)$
广义逆矩阵：设 $\boldsymbol A=\boldsymbol P\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{I}_{(r)} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)\boldsymbol Q,$ 其中 $\mathrm{rank}\ \boldsymbol A=r,$ 且 $\boldsymbol P,\boldsymbol Q$ 都是可逆矩阵，则称 $\boldsymbol B=\boldsymbol Q^{-1}\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{I}_{(r)} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)\boldsymbol P^{-1}$ 为 $\boldsymbol A$ 的一个广义逆矩阵

【定理、推论】

若 $\boldsymbol A$ 不含 $s$ 阶非零子式，则对于任意 $k>s$，均不含 $k$ 阶非零子式，且 $\mathrm{rank}\ \boldsymbol A<s$
若 $\boldsymbol A$ 含有 $s$ 阶非零子式，则对于任意 $k<s$，均含有 $k$ 阶非零子式，且 $\mathrm{rank}\ \boldsymbol A\geqslant s$
$\mathrm{rank}\ \boldsymbol {AB}\leqslant \mathrm{rank}\ \boldsymbol A,$ $\mathrm{rank}\ \boldsymbol {AB}\leqslant \boldsymbol\ \mathrm{rank}\ \boldsymbol B$
设 $\boldsymbol A\in F^{n\times m},$ $\boldsymbol P,\boldsymbol Q$ 分别为 $n$ 阶和 $m$ 阶可逆方阵，则 $\mathrm{rank}\ \boldsymbol {PAQ}=\mathrm{rank}\ \boldsymbol {A}$
$\boldsymbol A$ 与 $\boldsymbol B$ 相抵 $\Longleftrightarrow$ $\mathrm{rank}\ \boldsymbol A=\mathrm{rank}\ \boldsymbol B$
若 $\mathrm{rank}\ \boldsymbol A=1,$ 则存在非零列向量 $\boldsymbol \beta$ 和非零行向量 $\boldsymbol \alpha$ 使得 $\boldsymbol A=\boldsymbol \beta\boldsymbol\alpha$
设 $\boldsymbol A\in F^{n\times n},\mathrm{rank}\ \boldsymbol A=r$ 则存在 $\boldsymbol B\in F^{n\times n}$ 满足 $\mathrm{rank}\ \boldsymbol B=n-r$ 且 $\boldsymbol {AB}=\boldsymbol{BA}=\boldsymbol O$
$\operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol A & \boldsymbol O \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol B \end{array}\right)=\operatorname{rank} \boldsymbol A+\operatorname{rank} \boldsymbol B$
$\operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol A & \boldsymbol O \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol B \end{array}\right)\geqslant\operatorname{rank} \boldsymbol A+\operatorname{rank} \boldsymbol B$
任一矩阵 $\boldsymbol A$ 的一部分行和一部分列交叉位置的元组成的子矩阵 $\boldsymbol A_{1}$ 的秩 $\operatorname{rank} \boldsymbol A_{1} \leqslant \operatorname{rank} \boldsymbol A$
$\mathrm{rank}\ (\boldsymbol{A+B})\leqslant \mathrm{rank}\ \boldsymbol A+\mathrm{rank}\ \boldsymbol B$
弗罗贝尼乌斯 $(\mathrm{Frobenius})$ 不等式：$\mathrm{rank}\ \boldsymbol{AS}+\mathrm{rank}\ \boldsymbol {SB}-\mathrm{rank}\ \boldsymbol {S}\leqslant \mathrm{rank}\ \boldsymbol {ASB}$
西尔维斯特 $(\mathrm{Svlvevter})$ 不等式：$\mathrm{rank}\ \boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\ \boldsymbol {B}-n\leqslant \mathrm{rank}\ \boldsymbol {AB}\leqslant \min\{\mathrm{rank}\ \boldsymbol A,\mathrm{rank}\ \boldsymbol B\}$
$\mathrm{rank}\ \boldsymbol A=\mathrm{rank}\ \boldsymbol{AA^{\mathrm{T}}}$
$\boldsymbol A$ 行满秩 $\Longleftrightarrow \boldsymbol {AX}=\boldsymbol I$ 有解
$\boldsymbol A$ 列满秩 $\Longleftrightarrow \boldsymbol {XA}=\boldsymbol I$ 有解
矩阵 $\boldsymbol B$ 是 $\boldsymbol A$ 的一个广义逆矩阵 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol {ABA}=\boldsymbol A$ 且 $\boldsymbol {BAB}=\boldsymbol B$
设 $\boldsymbol A\in F^{n\times m},\boldsymbol b\in F^{n\times 1},\boldsymbol B\in F^{m\times n}$ 是 $\boldsymbol A$ 的一个广义逆矩阵，则：$(1).$ $\boldsymbol {Ax}=\boldsymbol b$ 有解 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol {ABb}=\boldsymbol b$（即 $\boldsymbol {Bb}$ 是 $\boldsymbol {Ax}=\boldsymbol b$ 的特解） $(2).$ 若 $\boldsymbol {Ax}=\boldsymbol b$ 有解，则解集为 $\{\boldsymbol {Bb}+(\boldsymbol I-\boldsymbol {BA})\boldsymbol y|\boldsymbol y\in F^{m\times 1}\}$ $(3).$ $\boldsymbol {Ax}=\boldsymbol b$ 有唯一解 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol {ABb}=\boldsymbol b$ 且 $\boldsymbol {BA}=\boldsymbol I$

7.【多项式矩阵相抵】

【定义】

多项式矩阵：$\boldsymbol A(\lambda)=(a_{ij}(\lambda))_{n\times m},a_{ij}\in F[\lambda]$
$\text{Smith}$ （相抵）标准形：$\boldsymbol S(\lambda)=\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{D}(\lambda) & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O} \end{array}\right),$ $\boldsymbol D (\lambda)=\text{diag}(d_1(\lambda),d_2(\lambda),...,d_r(\lambda)),$ 其中 $d_i(\lambda)$ 为首一多项式，且 $d_i(\lambda) |d_{i+1}(\lambda)$
行列式因子：$\boldsymbol A(\lambda)$ 中所有 $k$ 阶非零子式的最大公因式，记为 $D_k(\lambda)$
不变因子：$d_i(\lambda)$
多项式 $f(\lambda)$ 初等因子：设 $f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{n_1}\dots(\lambda-\lambda_t)^{n_t},$ 其中 $\lambda_i$ 各不相同， $(\lambda-\lambda_i)^{n_i}$ 称为一个初等因子
多项式 $f(\lambda)$ 初等因子组：$f(\lambda)$ 所有初等因子组成的集合
多项式矩阵 $\boldsymbol A(\lambda)$ 初等因子组：所有不等于常数的不变因子 $d_k(\lambda)$ 的初等因子组合并得到的集合（不去重）

【定理、推论】

$D_{k}(\lambda)=0 (\forall k>\mathrm{rank}\ \boldsymbol A(\lambda))$
$\boldsymbol A(\lambda)$ 与 $\boldsymbol B(\lambda)$ 相抵 $\Longleftrightarrow$ $\forall k,D_k(\lambda)$ 对应相同
$d_{k}(\lambda)=\frac{D_k(\lambda)}{D_{k-1}(\lambda)},D_{k}(\lambda)=\Pi_{i=1}^{k}d_{i}(\lambda)$
最小多项式 $d_{\boldsymbol A}(\lambda)=d_{n}(\lambda)$ 是所有初等因子的最小公倍式
特征多项式 $\varphi_{\boldsymbol A}(\lambda)=D_n(\lambda)$ 是所有初等因子的乘积

四：【线性映射和线性变换】

1.【线性映射】

【定义】

若存在映射 $\mathcal{A}:U\to V$ 满足 $\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in U,\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha+\beta})=\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})+\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta})$ 且 $\forall\boldsymbol{\alpha}\in U,\lambda\in F,\mathcal{A}(\lambda\boldsymbol{\alpha})=\lambda\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})$，则称 $\mathcal{A}$ 为 $U$ 到 $V$ 的线性映射，当 $U=V$ 时称 $\mathcal{A}$ 为 $V$ 的线性变换
设 $U=F^{n},V=F^{m},n>m$，则线性映射 $\pi: U\to V$ 称为 $U$ 在 $V$ 上的投影
$\mathcal{A}: V\to V,\boldsymbol\alpha \mapsto \lambda\boldsymbol\alpha$ 称为由 $\lambda$ 决定的标量变换
$\mathcal{A}: V\to V,\boldsymbol\alpha \mapsto \boldsymbol\alpha$ 称为$V$ 中的恒等变换（单位变换）
$L(U,V)$：$U$ 到 $V$ 的全体线性映射组成的集合
设 $U,V$ 分别的一组基为 $M_1=\{\boldsymbol\alpha_1,...,\boldsymbol\alpha_n\},$ $M_2=\{\boldsymbol\beta_1,...,\boldsymbol\beta_m\},$ 取矩阵 $\boldsymbol{A}$ 使得 $\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_1,...,\boldsymbol{\alpha}_n)=(\boldsymbol{\beta}_1,...\boldsymbol{\beta}_n)\boldsymbol {A},$ 则称 $\boldsymbol A$ 为 $\mathcal{A}$ 在基 $M_1$ 和 $M_2$ 下的矩阵（表示）
当 $U=V,\boldsymbol\alpha_i=\boldsymbol\beta_i$ 时，称 $\boldsymbol A$ 为 $\mathcal{A}$ 在基 $M_1$ 下的矩阵（表示）
设 $\boldsymbol{\alpha},\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})$ 在 $M_1,M_2$ 下的坐标分别为 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$，则有 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{Ax}$，即 $\mathcal{A}$ 在 $M_1,M_2$ 下的坐标表示

【定理、推论】

设 $\mathcal{A}:U\to V$ 为线性映射，则：$S$ 线性相关 $\Longrightarrow$ $\mathcal{A}(S)$ 线性相关；$\mathcal{A}(S)$ 线性无关 $\Longrightarrow$ $S$ 线性无关

2.【基变换与坐标变换】

【定义】

基变换公式：取 $\boldsymbol P$ 满足 $M_2=M_1\boldsymbol P,$ 则称 $\boldsymbol P$ 为 $M_1$ 到 $M_2$ 的过渡矩阵
坐标变换公式：设 $\boldsymbol{\alpha}$ 在 $M_1,M_2$ 下的坐标分别为 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$，则 $\boldsymbol x=\boldsymbol{Py},\boldsymbol y=\boldsymbol{P^{-1}x}$

【定理、推论】

$\boldsymbol A,\boldsymbol B$ 相抵 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A,\boldsymbol B$ 是同一线性映射 $\mathcal{A}:U\to V$ 在两对不同基 $M_1,M_2\subset U,\ N_1,N_2\subset V$ 下的矩阵
设 $M_1$ 到 $M_2$ 的过渡矩阵为 $\boldsymbol P,$ $N_1$ 到 $N_2$ 的过渡矩阵为 $Q$，则 $\boldsymbol B=\boldsymbol{Q^{-1}AP}$
对于 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$，设 $M_1$ 到 $M_2$ 的过渡矩阵为 $\boldsymbol P,$ 则 $\mathcal{A}$ 在 $M_2$ 下的矩阵表示为：$\boldsymbol B=\boldsymbol{P^{-1}AP}$

3.【像与核】

【定义】

像（值域）：$\mathrm{Im}\ \mathcal{A}=\mathcal{A}(U)=\{\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})|\boldsymbol{\alpha}\in U\}$
核：$\mathrm{Ker}\ \mathcal{A}=\mathcal{A}^{-1}(\boldsymbol 0)=\{\boldsymbol{\alpha}\in U|\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{0}\}$
秩：$\mathrm{rank}\ \mathcal{A}=\mathrm{dim}\ (\mathrm{Im}\ \mathcal{A})$

【定理、推论】

$\mathrm{dim}\ U=\mathrm{rank}\ \mathcal{A}+\mathrm{dim}\ (\mathrm{Ker}\ \mathcal{A})$
映射 $\mathcal{A}: U\to V$ 为单射 $\Longleftrightarrow$ $\mathrm{Ker}\ \mathcal{A}=\boldsymbol 0$
映射 $\mathcal{A}: U\to V$ 为满射 $\Longleftrightarrow$ $\mathrm{Im}\ \mathcal{A}=\boldsymbol V$
映射 $\mathcal{A}: U\to V$ 为双射 $\Longleftrightarrow$ $\mathrm{Ker}\ \mathcal{A}=\boldsymbol 0$ 且 $\mathrm{Im}\ \mathcal{A}=\boldsymbol V$

4.【相似】

【定义】

相似：若存在可逆矩阵 $\boldsymbol P$ 使得 $\boldsymbol B=\boldsymbol{P^{-1}AP},$ 则称 $\boldsymbol {A,B}$ 相似

【定理、推论】

$\boldsymbol B=\boldsymbol{P^{-1}AP}\Longrightarrow f(\boldsymbol B)=\boldsymbol{P^{-1}}f(\boldsymbol A)\boldsymbol {P}$

5.【特征向量】

【定义】

如果存在某组基使得 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角阵，则称 $\mathcal{A}$ 可对角化
如果 $\boldsymbol A$ 相似于某个对角阵 $\boldsymbol B,$ 则称 $\boldsymbol A$ 可对角化
若存在 $\boldsymbol 0\neq\boldsymbol \beta\in V,\lambda\in F$ 使得 $\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta})=\lambda\boldsymbol {\beta},$ 则称 $\lambda$ 为 $\mathcal{A}$ 的特征值，$\boldsymbol \beta$ 是属于特征值 $\lambda$ 的特征向量
若存在 $\boldsymbol 0\neq\boldsymbol X\in F^{n\times1},\lambda\in F$ 使得 $\boldsymbol{AX}=\lambda\boldsymbol {X},$ 则称 $\lambda$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，$\boldsymbol X$ 是属于特征值 $\lambda$ 的特征向量
特征多项式：$\varphi_{\boldsymbol A}(\lambda)=\mathrm{det}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})$
代数重数：$\varphi_{\boldsymbol A}(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{n_1}(\lambda-\lambda_2)^{n_2}...(\lambda-\lambda_t)^{n_t}$ ，每个 $\lambda_i$ 对应因式的指数 $n_i$
$V_{\lambda_{0}}=\{\boldsymbol X\in F^{n\times 1}|\boldsymbol A\boldsymbol X=\lambda_0 \boldsymbol X\}$ 称为 $\boldsymbol A$ 的属于特征值 $\lambda_0$ 的特征子空间
$V_{\lambda_0}=\{\boldsymbol \alpha \in V|\mathcal{A}(\boldsymbol \alpha)=\lambda_0\boldsymbol \alpha \}=\mathrm{Ker}\ (\mathcal{A}-\lambda_0\mathcal{I})$ 称为 $\mathcal A$ 的属于特征值 $\lambda_0$ 的特征子空间
几何重数：特征子空间 $V_{\lambda_i}$ 的维数 $m_i$

【定理、推论】

相似矩阵的特征多项式相同：$\varphi_{\boldsymbol B}(\lambda)=\mathrm{det}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P^{-1}AP})$ $=\mathrm{det}(\boldsymbol{P^{-1}}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{P})$ $=\mathrm{det}\ \boldsymbol{P^{-1}}\mathrm{det}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\mathrm{det}\ \boldsymbol{P}$ $=\mathrm{det}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})$ $\varphi_{\boldsymbol A}(\lambda)$
相似矩阵的迹相同
设 $\varphi_{\boldsymbol A}(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)...(\lambda-\lambda_n)$ $=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+...+a_{n-1}\lambda+a_n$，则 $\mathrm{tr}\ \boldsymbol A=-a_1=\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n,$ $\mathrm{det}\ \boldsymbol A=(-1)^{n}a_n=\lambda_1\lambda_2...\lambda_n$
线性变换 $\mathcal{A}: V\to V$ 的属于不同特征值 $\lambda_i$ 的特征子空间 $V_{\lambda_i}$ 的和是直和
几何重数小于等于代数重数 $(1 \leqslant m_i \leqslant n_i)$
几何重数 $m_i=\mathrm{dim}\ \{\boldsymbol X\in F^{n\times 1}|(\boldsymbol A-\lambda_0\boldsymbol I) \boldsymbol X=\boldsymbol 0\}$
代数重数 $m_i=\mathrm{dim}\ \{\boldsymbol X\in F^{n\times 1}|\exist k\in N^{*},(\boldsymbol A-\lambda_0\boldsymbol I)^k \boldsymbol X=\boldsymbol 0\}$
$\mathcal{A}$ 可对角化 $\Longleftrightarrow$ $\forall i,m_i=n_i$ $\Longleftarrow$ $\forall i,n_i=1$（代数重数均为 $1$，即 $\varphi_{\boldsymbol A}(\lambda)$ 无重根）
$\mathcal{A}$ 可对角化 $\Longleftrightarrow$ $d_{\boldsymbol A}(\lambda)$ 无重根
$\boldsymbol {AB}$ 与 $\boldsymbol{BA}$ 的非零特征值、重数均相同

6.【最小多项式】

【定义】

零化多项式：非零多项式 $f(\lambda)\in F[\lambda]$ 满足 $f(\boldsymbol A)=\boldsymbol 0$
最小多项式：所有零化多项式中次数最低的首一多项式 $d_{\boldsymbol A}(\lambda)$
幂零：$\exist k\in N^{*},\boldsymbol A^k=\boldsymbol 0$

【定理、推论】

$d_{\boldsymbol A}(\lambda)$ 由 $\boldsymbol A$ 唯一确定
$f(\lambda)$ 是 $d_{\boldsymbol A}(\lambda)$ 的倍式
复方阵 $\boldsymbol A$ 相似于上三角矩阵 $\boldsymbol B$，其中 $\boldsymbol B$ 的对角元为 $\boldsymbol A$ 的全体特征值（且可以按任意顺序排列）
相似矩阵最小多项式相同；最小多项式相同不一定相似
凯莱-哈密顿 $(\mathrm{Cayley-Hamilton})$ 定理：任意方阵 $\boldsymbol A$ 的特征多项式都是 $\boldsymbol A$ 的零化多项式，即 $\varphi_{\boldsymbol A}(\boldsymbol A)=\boldsymbol A^{n}-c_1\boldsymbol A^{n-1}+...+(-1)^nc_n\boldsymbol I=\boldsymbol 0$
$\boldsymbol A$ 幂零 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A$ 只有唯一特征值 $0$
$\varphi_{\boldsymbol A}(\lambda)=d_{\boldsymbol{A}}(\lambda)$ $\Longleftrightarrow$ $\forall i,m_i=1$（几何重数均为 $1$）

五：【Jordan 标准形】

1.【Jordan 形矩阵】

【定义】

$\text{Jordan}$ 块：$\boldsymbol{J}_m(\lambda)=\left(\begin{array}{ccccc} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\ & & \ddots & \ddots & 0 \\ & & & \lambda & 1 \\ & & & & \lambda \end{array}\right)_{m \times m}$
$\text{Jordan}$ 形矩阵：由 $\text{Jordan}$ 块组成的准对角阵

【定理、推论】

$\text{Jordan}$ 形矩阵 $\boldsymbol{J}$ 中 $\boldsymbol{J}_k(\lambda)$ 的个数为 $\mathrm{rank}\ (\boldsymbol{J}-\lambda\boldsymbol{I})^{k-1}-2\mathrm{rank}\ (\boldsymbol{J}-\lambda\boldsymbol{I})^{k}+\mathrm{rank}\ (\boldsymbol{J}-\lambda\boldsymbol{I})^{k+1}$
设 $\boldsymbol{A}$ 的 $\text{Jordan}$ 标准形为 $\boldsymbol{J}=\mathrm{diag}(\cdots,\boldsymbol{J}_{k_{ij}}(\lambda_i),\cdots),\forall i,1\leqslant j\leqslant m_i$，则特征值 $\lambda_{i}$ 的代数重数为 $n_i=\sum_{j=1}^{m_i}k_{ij}$（$\boldsymbol{J}_k(\lambda_i)$ 块的总阶数），其中 $m_i$ 为几何重数（$\boldsymbol{J}_k(\lambda_i)$ 块的个数）
$\text{Jordan}$ 标准形 $\boldsymbol J$ 中每个 $\boldsymbol J_{k}(\lambda_i)$ 块对应一个初等因子 $(\lambda-\lambda_i)^{k}$
与 $\boldsymbol J_{n}(\lambda)$ 块可交换的矩阵一定为 $\boldsymbol J_{n}(\lambda)$ 的多项式

2.【根子空间】

【定义】

根向量：设 $\mathcal{A}$ 的一个特征值为 $\lambda$，若存在 $k\in N^{*}$ 使得 $(\mathcal{A}-\lambda\mathcal{I})^{k}(\boldsymbol \beta)=\boldsymbol{0},$ 则称非零向量 $\boldsymbol \beta$ 为 $\mathcal{A}$ 属于特征值 $\lambda$ 的根向量
根子空间：$\mathcal{A}$ 的属于特征值 $\lambda_i$ 的全体根向量与零向量共同组成的子空间，记为 $W_{\lambda_i}$
不变子空间：$V$ 的子空间 $W$ 满足 $\mathcal{A}(W)=\{\mathcal{A}(\boldsymbol \alpha)|\boldsymbol \alpha\in W\}\subseteq W$
限制：$\mathcal{A}|_{W}:W\to W,\boldsymbol\alpha\mapsto \mathcal{A}(\boldsymbol\alpha)$

【定理、推论】

设 $\mathcal{A}$ 的特征值 $\lambda_i$ 代数重数为 $n_i$，则 $\forall k\geqslant n_i,\mathrm{Ker}(\mathcal{A}-\lambda_i\mathcal{I})^{k}=\mathrm{Ker}(\mathcal{A}-\lambda_i\mathcal{I})^{n_i}$
根子空间 $W_{\lambda_i}=\mathrm{Ker}(\mathcal{A}-\lambda_i\mathcal{I})^{n_i}$，维数为代数重数 $n_i$
$V=W_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus W_{\lambda_t}$
$\mathrm{Ker}\mathcal{A}$ 和 $\mathrm{Im}\mathcal{A}$ 都是不变子空间
对于 $\mathcal{A}$ 的任意特征向量 $\boldsymbol{\beta}$，$F\boldsymbol{\beta}=\{x\boldsymbol{\beta}|x\in F\}$ 是不变子空间
不变子空间的和仍是不变子空间
$\mathcal{A}$ 的属于任意特征值 $\lambda_i$ 的特征子空间 $V_{\lambda_i}$ 是若干一维不变子空间的和，是不变子空间
$\mathcal{A}$ 的属于任意特征值 $\lambda_i$ 的根子空间 $W_{\lambda_i}$ 是不变子空间
$\mathcal{A}$ 可对角化 $\Longleftrightarrow$ $V$ 是若干一维不变子空间的直和

3.【循环子空间】

【定义】

$S\subseteq V$，包含 $S$ 的最小 $\mathcal{A}$ 不变子空间，称为由 $S$ 生成的 $\mathcal{A}$ 不变子空间
循环子空间：包含一个向量 $\boldsymbol \beta$ 的最小 $\mathcal{A}$ 不变子空间（即由 $\boldsymbol \beta$ 生成的 $\mathcal{A}$ 不变子空间）
$\boldsymbol \beta$ 相对于 $\mathcal{A}$ 的零化多项式： $f(\mathcal{A})(\boldsymbol\beta)=\boldsymbol 0$
$\boldsymbol \beta$ 相对于 $\mathcal{A}$ 的最小多项式：所有$\boldsymbol \beta$ 相对于 $\mathcal{A}$ 的零化多项式中次数最低的首一多项式 $d_{\mathcal{A},\boldsymbol\beta}(\lambda)$，$\mathcal{A}$ 给定时简记为 $d_{\boldsymbol\beta}(\lambda)$

【定理、推论】

设 $\boldsymbol{\beta}$ 是 $\mathcal{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的$k$ 次根向量，即满足 $(\mathcal{A}-\lambda\mathcal{I})^{k}(\boldsymbol{\beta})=0,(\mathcal{A}-\lambda\mathcal{I})^{k-1}(\boldsymbol{\beta})\neq 0$，取 $\boldsymbol{\alpha}_i=(\mathcal{A}-\lambda\mathcal{I})^{k-i}(\boldsymbol{\beta})$，则：$\boldsymbol \alpha_1,...,\boldsymbol \alpha_k$ 线性无关，其作为一组基产生的子空间 $U=V(\boldsymbol \alpha_1,...,\boldsymbol \alpha_k)$ 为 $\mathcal{A}$ 的不变子空间，且 $\mathcal{A}|_{U}$ 在该组基下的矩阵为 $\text{Jordan}$ 块 $\boldsymbol{J}_{k}(\lambda)$
由 $\boldsymbol \beta$ 生成的 $\mathcal{A}$ 不变子空间 $U=\{f(\mathcal{A})(\boldsymbol \beta)|f(\lambda)\in F[\lambda]\}$ （循环子空间 $U=F[\mathcal{A}]\boldsymbol\beta$）
设 $d_{\mathcal{A},\boldsymbol{\beta}}=a_0+a_1\lambda+...+a_{m-1}\lambda^{m-1}+\lambda^m$，则 $\{\boldsymbol \beta,\mathcal{A}(\boldsymbol \beta),...,\mathcal{A}^{m-1}(\boldsymbol \beta)\}$ 构成循环子空间 $U=F[\mathcal{A}]\boldsymbol\beta$ 的一组基，且 $\mathcal{A}|_{U}$ 在该基下的矩阵为 $\boldsymbol P=\left(\begin{array}{cccc} 0 & & & -a_{0} \\ 1 & \ddots & & -a_{1} \\ & \ddots & 0 & \vdots \\ & & 1 & -a_{m-1} \end{array}\right)_{m \times m}$，且 $\varphi_{\boldsymbol P}(\lambda)=d_{\boldsymbol P}(\lambda)=d_{\mathcal{A},\boldsymbol \beta}(\lambda)$

4.【特征方阵、相似】

【定义】

特征方阵：$\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$
有理标准形：$\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 相抵于 $\boldsymbol S (\lambda)=\text{diag} (1,...,1,d_{s+1}(\lambda),...,d_{n}(\lambda))$
循环变换：$\mathcal{A}: V\to V$ 满足 $\exist \boldsymbol\beta\in V,F[\mathcal{A}]\boldsymbol\beta=V$
单纯方阵：特征多项式等于最小多项式，即 $\varphi_{\boldsymbol A}(\lambda)=d_{\boldsymbol A}(\lambda)$，即每个特征值的几何重数都为 $1$
实相似：存在实可逆方阵 $\boldsymbol P$ 使 $\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol A\boldsymbol P=\boldsymbol B$

【定理、推论】

$\boldsymbol A,\boldsymbol B$ 实相似 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A,\boldsymbol B$ 复相似 $\Longleftrightarrow$ $\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A},\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}$ 复相抵
$\boldsymbol A,\boldsymbol B$ 实相似 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A,\boldsymbol B$ 复相似 $\Longleftrightarrow$ 对任意复特征值 $\lambda_i,$ $\mathrm{rank}\ (\boldsymbol A-\lambda_i\boldsymbol I)^k=\mathrm{rank}\ (\boldsymbol B-\lambda_i\boldsymbol I)^k$ 对任意 $1\leqslant k\leqslant n_i$ 成立，其中 $n_i$ 为 $\lambda_i$ 对应的代数重数
$\boldsymbol A$ 相似于 $\boldsymbol J$ $\Longleftrightarrow$ $\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 与 $\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{J}$ 初等因子组相同
$\mathcal{A}$ 为循环变换 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A$ 为单纯方阵
$\mathcal{A}$ 为循环变换 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A$ 的 $\text{Jordan}$ 标准形 $\boldsymbol J$ 中每个属于特征值 $\lambda_i$ 的块 $\boldsymbol J_{m_i}(\lambda_i)$ 只有一个 $\Longleftrightarrow$ $\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 的所有不变因子中没有重复 $\lambda_i$ $\Longleftrightarrow$ $d_1(\lambda)=...=d_{n-1}(\lambda)=1$
$\mathcal{A}$ 为循环变换 $\Longleftrightarrow$ 与 $\boldsymbol A$ 可交换的方阵 $\boldsymbol B$ 一定满足 $\boldsymbol B=f(\boldsymbol A),$ 即 $\boldsymbol B$ 为 $\boldsymbol A$ 的多项式

六：【二次型】

1.【相合】

【定义】

二次型：$Q(x_1,\cdots,x_n)=\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n}a_{ij}x_ix_j$
标准形：$Q(y_1,\cdots,y_n)=\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant n}a_{i}y_i^2$
取 $\boldsymbol S=(s_{ij})_{n\times n},$ $s_{ii}=a_{ii},s_{ij}=s_{ji}=\frac{a_{ij}}{2},$ 则 $\boldsymbol S$ 称为二次型 $Q$ 的矩阵，$Q(\boldsymbol X)=\boldsymbol X^{T}\boldsymbol S\boldsymbol X$
相合：若存在可逆矩阵 $\boldsymbol P$ 使得 $\boldsymbol B=\boldsymbol{P^{T}AP},$ 则称 $\boldsymbol {A,B}$ 相合
实对称阵相合标准形：$\mathrm{diag}(\boldsymbol I_{p},-\boldsymbol I_{q},\boldsymbol O_{n-p-q}),$ 其中 $p+q=\mathrm{rank}\ \boldsymbol S$
复对称阵相合标准形：$\mathrm{diag}(\boldsymbol I_{r},\boldsymbol O_{n-r}),$ 其中 $r=\mathrm{rank}\ \boldsymbol S$
$p,q$ 分别为正、负惯性指数，$p-q$ 为符号差

【定理、推论】

与（反）对称方阵相合的方阵仍为（反）对称方阵
设同一个二次型在两组不同基 $M_1,M_2$ 下的矩阵分别为 $\boldsymbol S_1,\boldsymbol S_2$，则 $\boldsymbol S_2=\boldsymbol P^{T}\boldsymbol S_1\boldsymbol P$，其中 $\boldsymbol P$ 为 $M_1$ 到 $M_2$ 的过渡矩阵，即 $M_2=M_1 \boldsymbol P$
任意对称方阵可相合于对角矩阵，且对角元顺序任意

2.【正定】

【定义】

正定：$\forall \boldsymbol X\neq\boldsymbol O,Q(\boldsymbol X)>0$
负定：$\forall \boldsymbol X\neq\boldsymbol O,Q(\boldsymbol X)<0$
半正定：$\forall \boldsymbol X\neq\boldsymbol O,Q(\boldsymbol X)\geqslant 0$
半负定：$\forall \boldsymbol X\neq\boldsymbol O,Q(\boldsymbol X)\leqslant 0$
$k$ 阶主子式：以某组对角元 $s_{i_1i_1},\cdots,s_{i_ki_k}$ 为对角元的子方阵 $\boldsymbol S_{i_1,\cdots,i_k}$ 的行列式，记为 $|\boldsymbol S_{i_1,\cdots,i_k}|=\boldsymbol S\left(\begin{array}{ccc} i_1 & \cdots & {i}_{k} \\ i_1 & \cdots & {i}_{k} \end{array}\right)$
$k$ 阶顺序主子式：由前 $k$ 行前 $k$ 列组成的 $k$ 阶主子式

【定理、推论】

$\boldsymbol S > 0 (\text{或}\geqslant 0)$ $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol -S < 0 (\text{或}\leqslant 0)$
$\boldsymbol S > 0$ $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol S^{-1} > 0$
$\boldsymbol S > 0$ $\Longleftrightarrow$ $p=n$
$\boldsymbol S \geqslant 0$ $\Longleftrightarrow$ $q=0$
与（半）正定相合的实对称方阵仍为（半）正定
$\boldsymbol S>0$ $\Longleftrightarrow$ 存在可逆 $\boldsymbol P$ 使 $\boldsymbol S=\boldsymbol P^T\boldsymbol P$ $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol S$ 相合于单位阵
$\boldsymbol S \geqslant 0$ $\Longleftrightarrow$ 存在 $\boldsymbol P\in R^{m\times n}$ 使 $\boldsymbol S=\boldsymbol P^T\boldsymbol P$ $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol S$ 相合于 $\mathrm{diag}\ (\boldsymbol I_{(r)},\boldsymbol O)$
$\boldsymbol S > 0$ $\Longrightarrow$ $\mathrm{det}\ \boldsymbol S>0$
$\boldsymbol S > 0 (\text{或}\geqslant 0)$ $\Longrightarrow$ 以每组对角元 $s_{i_1i_1},\cdots,s_{i_ki_k}$ 为对角元的子方阵 $\boldsymbol S_{i_1,\cdots,i_k}>0(\text{或}\geqslant 0)$ $\Longrightarrow$ 所有 $k$ 阶主子式 $> 0 (\text{或}\geqslant 0)$
所有顺序主子式 $>0$ $\Longrightarrow$ $\boldsymbol S > 0$
前 $n-1$ 个顺序主子式 $>0$ 且最后一个 $|\boldsymbol S_n|=\mathrm{det}\ \boldsymbol S=0$ $\Longrightarrow$ $\boldsymbol S \geqslant 0$
$\boldsymbol S > 0 (\text{或}\geqslant 0)$ $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol S$ 所有特征值 $>0 (\text{或}\geqslant 0)$
$\boldsymbol S < 0 (\text{或}\leqslant 0)$ $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol S$ 所有特征值 $<0 (\text{或}\leqslant 0)$
$\boldsymbol S>0$ $\Longleftrightarrow$ 存在可逆上三角阵 $\boldsymbol T$ 使 $\boldsymbol T^T\boldsymbol S\boldsymbol T=\boldsymbol I$
若 $\boldsymbol S_1\geqslant 0,\boldsymbol S_2\geqslant 0$，则 $\boldsymbol S_1^2= \boldsymbol S_2^2$ $\Longrightarrow$ $\boldsymbol S_1= \boldsymbol S_2$
若 $\boldsymbol S_1>0,\boldsymbol S_2>0$，则 $\boldsymbol S_1<(\text{或}\leqslant) \boldsymbol S_2$ $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol S_1^{-1}>(\text{或}\geqslant)\boldsymbol S_2^{-1}$（用正交相似标准化证明）

七：【内积】

1.【内积】

【定义】

$(\boldsymbol X,\boldsymbol Y)=\overline {\boldsymbol X}^T \boldsymbol S\boldsymbol Y$
内积：双线性、对称性、正定性
长度：$|\boldsymbol \alpha|=\sqrt{(\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \alpha)}$
单位向量：长度为 $1$ 的向量
夹角：$\theta=\arccos\frac{(\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta)}{|\boldsymbol \alpha||\boldsymbol \beta|}$
柯西 $(\text{Cauchy-Schiwarz})$ 不等式：$(\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta)^2\leqslant (\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \alpha)(\boldsymbol \beta,\boldsymbol \beta)$
三角不等式：$|\boldsymbol \alpha+\boldsymbol \beta|\leqslant |\boldsymbol \alpha|+|\boldsymbol \beta|$
度量矩阵（$\text{Gram}$ 方阵）：$\boldsymbol S=(s_{ij})_{n\times n},s_{ij}=(\boldsymbol \alpha_i,\boldsymbol \alpha_j),$ 其中 $\boldsymbol \alpha_1,\cdots,\boldsymbol \alpha_n$ 为一组基

【定理、推论】

$\forall \boldsymbol \alpha\neq \boldsymbol 0,(\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \alpha)>0$
$(\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta)=\frac{1}{2}(|\boldsymbol \alpha+\boldsymbol \beta|^2- |\boldsymbol \alpha|^2-|\boldsymbol \beta|^2)$
度量矩阵 $\boldsymbol S>0$
$n$ 维欧氏空间 $E_n(\boldsymbol R)$中两两成钝角的向量最多有 $n+1$ 个
设 $\boldsymbol \alpha_1,\cdots,\boldsymbol \alpha_n$ 为 $E_n(\boldsymbol R)$ 的一组基，则：$\boldsymbol \beta=\boldsymbol 0$ $\Longleftrightarrow$ $\forall 1\leqslant i\leqslant n,(\boldsymbol \beta,\boldsymbol \alpha_i)=0$
设 $\boldsymbol \alpha_1,\cdots,\boldsymbol \alpha_n$ 为 $E_n(\boldsymbol R)$ 的一组基，则：$\boldsymbol \beta_1=\boldsymbol \beta_2$ $\Longleftrightarrow$ $\forall 1\leqslant i\leqslant n,(\boldsymbol \beta_1,\boldsymbol \alpha_i)=(\boldsymbol \beta_2,\boldsymbol \alpha_i)$
$\boldsymbol \beta_1=\boldsymbol \beta_2$ $\Longleftrightarrow$ $\forall \boldsymbol \alpha_i\in V,(\boldsymbol \beta_1,\boldsymbol \alpha)=(\boldsymbol \beta_2,\boldsymbol \alpha)$

2.【正交】

【定义】

正交：$(\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta)=0$，记为 $\boldsymbol \alpha\perp \boldsymbol \beta$
正交向量组：两两正交的非零向量组成的向量组
标准正交基：两两正交的单位向量组成的向量组
正交方阵：满足 $\boldsymbol P^T\boldsymbol P=\boldsymbol P\boldsymbol P^T=\boldsymbol I$ 即 $\boldsymbol P^T=\boldsymbol P^{-1}$ 的实方阵

【定理、推论】

正交向量组都线性无关
$E_{n}(\boldsymbol R)$ 必存在标准正交基
$\text{Gram-Schmidt}$ 正交化方法：任取一组基 $\boldsymbol \alpha_1,\cdots,\boldsymbol \alpha_n$，令 $\boldsymbol \beta_1=\boldsymbol \alpha_1,\boldsymbol \beta_k=\alpha_k-\sum\limits_{i=1}^{k-1}\frac{(\boldsymbol \alpha_k,\boldsymbol \beta_i)}{(\boldsymbol \beta_i,\boldsymbol \beta_i)}\boldsymbol \beta_i$，再令 $\boldsymbol\gamma_i=\frac{1}{|\boldsymbol \beta_i|}\boldsymbol \beta_i$ 得到标准正交基
存在上三角矩阵 $\boldsymbol T$ 使得 $(\boldsymbol \gamma_1,\cdots,\boldsymbol \gamma_n)=(\boldsymbol \alpha_1,\cdots,\boldsymbol \alpha)\boldsymbol T$
任意一组两两正交的单位向量都能扩充为一组标准正交基
内积在标准正交基上的度量矩阵为单位矩阵
设同一个内积在两组不同基 $M_1,M_2$ 下的度量矩阵分别为 $\boldsymbol A,\boldsymbol B$，则 $\boldsymbol B=\boldsymbol P^{T}\boldsymbol A\boldsymbol P$，其中 $\boldsymbol P$ 为 $M_1$ 到 $M_2$ 的过渡矩阵，即 $M_2=M_1 \boldsymbol P$
设 $\boldsymbol P$ 为 $M_1$ 到 $M_2$ 的过渡矩阵，即 $M_2=M_1 \boldsymbol P$，则 $\boldsymbol I=\boldsymbol P^{T}\boldsymbol I\boldsymbol P=\boldsymbol P^T\boldsymbol P$，即：标准正交基之间的过渡矩阵一定为正交方阵
$\boldsymbol P$ 为正交方阵 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol P$ 的列向量组为标准正交基 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol P$ 的行向量组为标准正交基
奇异值分解：对任意实方阵 $\boldsymbol A$，设 $\lambda_1,\cdots,\lambda_r$ 为 $\boldsymbol A^{T}\boldsymbol A$ 的所有特征值，则存在正交方阵 $\boldsymbol P,\boldsymbol Q$ 使 $\boldsymbol A=\boldsymbol P \left(\begin{array}{cc}\boldsymbol D&\boldsymbol O\\ \boldsymbol O&\boldsymbol O\end{array}\right)\boldsymbol Q$，其中 $\boldsymbol D=\mathrm{diag}(\sqrt{\lambda_1},\cdots,\sqrt{\lambda_r})$
极分解：对任意实方阵 $\boldsymbol A$，存在正交方阵 $\boldsymbol P$ 和唯一半正定方阵 $\boldsymbol Q$ 使 $\boldsymbol A=\boldsymbol P\boldsymbol Q$，且当 $\boldsymbol A$ 可逆时 $\boldsymbol Q$ 也唯一

3.【正交变换、对称变换】

【定义】

同构映射：线性映射 $\sigma:U\to V$ 满足 $\forall \boldsymbol{\alpha}\in U,\boldsymbol{\beta}\in V,(\sigma(\boldsymbol{\alpha}),\sigma(\boldsymbol{\beta}))=(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})$
同构：若存在 $U$ 到 $V$ 的同构映射，则称 $U$ 与 $V$ 同构
正交变换：线性变换 $\mathcal{A}:V\to V$ 满足 $\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V,(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}))=(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})$
对称变换：线性变换 $\mathcal{A}:V\to V$ 满足 $\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V,(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\alpha},\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}))$

【定理、推论】

$U$ 与 $V$ 同构 $\Longleftrightarrow$ $\dim U=\dim V$
$\mathcal{A}$ 为正交变换 $\Longleftrightarrow$ $\forall \boldsymbol \alpha\in V,|\mathcal A(\boldsymbol\alpha)|=|\boldsymbol\alpha|$
$\mathcal{A}$ 为正交变换 $\Longleftrightarrow$ $\mathcal{A}$ 在标准正交基下的矩阵为正交方阵 $\Longleftrightarrow$ $\mathcal{A}$ 将标准正交基仍变为标准正交基
$\mathcal{A}$ 为对称变换 $\Longleftrightarrow$ $\mathcal{A}$ 在标准正交基下的矩阵为对称方阵
正交变换和正交方阵的行列式等于 $\pm 1$
正交变换和正交方阵的复特征值 $\lambda_i$ 的模为 $|\lambda_i|=1$，实特征值 $\lambda_i=\pm1$
设 $\mathcal A$ 为 $2$ 维欧氏空间上的正交变换，$\text{det}\ \mathcal A=1$，则 $\mathcal{A}$ 是绕原点的旋转变换，在任意一组标准正交基下的矩阵为 $\boldsymbol A=\left(\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right)$
设 $\mathcal A$ 为 $2$ 维欧氏空间上的正交变换，$\text{det}\ \mathcal A=-1$，则 $\mathcal{A}$ 是关于过原点的某条直线 $l$ 的轴对称变换，在某一组标准正交基下的矩阵为 $\boldsymbol A=\text{diag}(1,-1)$
设 $\mathcal A$ 为 $3$ 维欧氏空间上的正交变换，$\text{det}\ \mathcal A=1$，则 $\mathcal{A}$ 是绕原点的旋转变换
设 $\mathcal A$ 为对称变换，则 $\mathcal A$ 在适当的标准正交基下的矩阵为对角阵
设 $\mathcal A$ 为对称变换，则存在由 $\mathcal A$ 的特征向量构成的标准正交基

3.【伴随变换、规范变换】

【定义】

伴随变换：线性变换 $\mathcal{A}:V\to V$ 存在唯一 $\mathcal A^{*}:V\to V$ 满足 $\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V,(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\alpha},\mathcal{A}^{*}(\boldsymbol{\beta}))$
规范变换：线性变换 $\mathcal{A}:V\to V$ 满足 $\mathcal A^{*}\mathcal A=\mathcal A\mathcal A^{*}$
规范方阵：方阵 $\boldsymbol A$ 满足 $\boldsymbol A^{T}\boldsymbol A=\boldsymbol A\boldsymbol A^{T}$

【定理、推论】

$\mathcal A$ 和 $\mathcal{A}^{*}$ 在标准正交基下的矩阵互为转置
$(\mathcal{A}^{*})^{*}=\mathcal{A}^{*}$
$(\mathcal{A}+\mathcal B)^{*}=(\mathcal{A}+\mathcal B)^{*}$
$(\lambda\mathcal{A})^{*}=\lambda\mathcal{A}^{*}$
$(\mathcal{A}\mathcal B)^{*}=\mathcal B^{*}\mathcal{A}^{*}$
$\mathcal{A}$ 为正交变换 $\Longleftrightarrow$ $\forall \boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta\in V,(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol \beta)=(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}))=(\boldsymbol \alpha,\mathcal A^{*}(\mathcal A(\boldsymbol \beta)))$ $\Longleftrightarrow$ $\mathcal A^{*}\mathcal{A}=\mathcal I$ $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A^{T}\boldsymbol A=\boldsymbol I$ $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A$ 为正交方阵
$\mathcal{A}$ 为对称变换 $\Longleftrightarrow$ $\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V,(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\alpha},\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}))=(\mathcal A^{*}(\boldsymbol \alpha),\boldsymbol \beta))$ $\Longleftrightarrow$ $\mathcal A^{*}=\mathcal{A}$ $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A^{T}=\boldsymbol A$ $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A$ 为对称方阵
正交变换： $\mathcal A^{*}=\mathcal A^{-1}\ $ （正交方阵：$\boldsymbol A^T=\boldsymbol A^{-1}$）
对称变换（自伴变换）： $\mathcal A^{*}=\mathcal A\ $ （对称方阵：$\boldsymbol A^T=\boldsymbol A$）
反对称变换（反自伴变换）： $\mathcal A^{*}=-\mathcal A\ $ （反对称方阵：$\boldsymbol A^T=-\boldsymbol A$）
正交变换、对称变换、反对称变换均为规范变换
$\mathcal{A}$ 为规范变换 $\Longleftrightarrow$ $\mathcal{A}$ 在标准正交基下的矩阵为规范方阵
设实方阵 $\boldsymbol A$ 为准三角矩阵 $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)$ 或 $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)$，则 $\boldsymbol A$ 为规范方阵 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A,\boldsymbol B$ 为规范方阵且 $\boldsymbol C=\boldsymbol O$
$\text{Schur}$ 不等式：$tr(\boldsymbol A^*\boldsymbol A)\geqslant \sum_{i=1}^{n}|\lambda_i|^2$，当且仅当 $\boldsymbol A$ 为规范方阵时成立

4.【正交相似】

【定义】

正交相似：存在正交方阵 $\boldsymbol P$ 使 $\boldsymbol B=\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol A\boldsymbol P$
主轴形式：二次型 $Q(\boldsymbol \alpha)$ 在标准正交基下的标准形 $Q(\boldsymbol \alpha)=\sum_{i=1}^{r}\lambda_i x_i^2$

【定理、推论】

$\boldsymbol A,\boldsymbol B$ 通过正交方阵 $\boldsymbol P$ 相合 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A,\boldsymbol B$ 通过 $\boldsymbol P$ 正交相似
与规范方阵正交相似的仍为规范方阵
与（半）正定矩阵相合的实对称方阵仍为（半）正定矩阵
与（反）对称方阵相合的方阵仍为（反）对称方阵
设实规范方阵 $\boldsymbol A$ 的全部特征值为 $a_k\pm i b_k(\forall 1\leqslant k\leqslant s,b_k>0),\lambda_{2s+1},\cdots,\lambda_n$，则 $\boldsymbol A$ 正交相似于标准形 $\boldsymbol B=\text{diag} (\boldsymbol A_1,\cdots,\boldsymbol A_s,\lambda_{2s+1},\cdots,\lambda_n)$，其中 $\boldsymbol A_{k}=\left(\begin{array}{cc}a_k&b_k\\ -b_k&a_k\end{array}\right),\forall 1\leqslant k\leqslant s$
设正交方阵 $\boldsymbol A$ 的全部特征值为 $\cos a_k+i\sin a_k(1\leqslant k\leqslant s),1(t\text{重}),-1(n-2s-t\text{重})$，则 $\boldsymbol A$ 正交相似于标准形 $\boldsymbol B=\text{diag} (\boldsymbol A_1,\cdots,\boldsymbol A_s,\boldsymbol I_{(t)},-\boldsymbol I_{(n-2s-t)})$，其中 $\boldsymbol A_{k}=\left(\begin{array}{cc}\cos a_k&-\sin a_k\\ \sin a_k&\cos a_k\end{array}\right),\forall 1\leqslant k\leqslant s$
实对称方阵正交相似于实对角阵 $\boldsymbol D=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$
实反对称方阵正交相似于标准形 $\boldsymbol B=\text{diag} (\boldsymbol A_1,\cdots,\boldsymbol A_s,\lambda_{2s+1},\cdots,\lambda_n)$，其中 $\boldsymbol A_{k}=\left(\begin{array}{cc}0&b_k\\ -b_k&0\end{array}\right),\forall 1\leqslant k\leqslant s$
实对称方阵的特征值都为实数
实反对称方阵的特征值都为 $0$ 或纯虚数（成对存在）
实对称方阵属于不同特征值的特征向量相互正交
设 $\boldsymbol S$ 为正定实方阵，$\boldsymbol K$ 为非零反对称实方阵，则 $|\boldsymbol S+\boldsymbol K|\geqslant |\boldsymbol S|$

5.【子空间正交、对偶空间】

【定义】

正交：设向量组 $S_1,S_2\subset V$，如果 $\forall \boldsymbol \alpha\in S_1,\boldsymbol \beta\in S_2,\boldsymbol \alpha\perp\boldsymbol \beta$，则称 $S_1$ 与 $S_2$ 正交，记为 $S_1\perp S_2$
$\forall S\subset V$，记 $S^{\perp}=\{\boldsymbol \beta\in V|S\perp\boldsymbol\beta\}$
正交补：设 $W$ 为 $V$ 的子空间，则 $V=W\oplus W^{\perp}$，即 $W^{\perp}$ 为 $W$ 的补空间，称 $W^{\perp}$ 为 $W$ 的正交补
对偶空间：设 $V$ 为 $F$ 上的线性空间，则 $V^{*}=L(V,F)$ 称为对偶空间
线性函数（线性泛函）：任意 $f\in V^{*}$

【定理、推论】

$S_1\perp S_2$ $\Longleftrightarrow$ $V(S_1)\perp V(S_2)$
$S^{\perp}=V(S)^{\perp}$
如果 $1$ 和 $-1$ 都是正交变换 $\mathcal{A}$ 的特征值，则特征子空间 $V_{1}\perp V_{-1}$
设 $\mathcal A$ 为正交变换，则：$W$ 是 $\mathcal A$ 的不变子空间 $\Longleftrightarrow$ $W^{\perp}$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间
设 $\mathcal A$ 为对称变换，则属于 $\mathcal A$ 的不同特征值的子空间相互正交
设 $\mathcal A$ 为规范变换，则：$W$ 是 $\mathcal A$ 的不变子空间 $\Longleftrightarrow$ $W^{\perp}$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间
$\forall \boldsymbol \alpha\in V$，定义线性函数映射 $f_\boldsymbol \alpha:V\to R,f_\boldsymbol\alpha(\boldsymbol \beta)=(\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta)$，自然有 $f\in V^{*}$
线性映射 $\sigma:V\to V^{*},\boldsymbol \alpha\to f_{\boldsymbol\alpha}$ 为线性空间 $V$ 到 $V^{*}$ 的同构映射
$\sigma$ 为同构映射，所以 $\forall f_{\boldsymbol\alpha}\in V^{*}$，存在唯一 $\boldsymbol \alpha\in V$ 满足 $\forall\boldsymbol\beta\in V,f_{\boldsymbol\alpha}(\boldsymbol \beta)=(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)$

八：【酉空间】

1.【内积】

【定义】

$(\boldsymbol X,\boldsymbol Y)=\overline {\boldsymbol X}^T \boldsymbol S\boldsymbol Y$
内积：共轭双线性、共轭对称性、正定性
共轭双线性：$(\lambda\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta)=\bar\lambda(\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta),(\boldsymbol \alpha,\lambda\boldsymbol \beta)=\lambda(\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta)$
长度：$|\boldsymbol \alpha|=\sqrt{(\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \alpha)}$
单位向量：长度为 $1$ 的向量
柯西 $(\text{Cauchy-Schiwarz})$ 不等式：$(\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta)^2\leqslant (\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \alpha)(\boldsymbol \beta,\boldsymbol \beta)$
三角不等式：$|\boldsymbol \alpha+\boldsymbol \beta|\leqslant |\boldsymbol \alpha|+|\boldsymbol \beta|$
度量矩阵（$\text{Gram}$ 方阵）：$\boldsymbol S=(s_{ij})_{n\times n},s_{ij}=(\boldsymbol \alpha_i,\boldsymbol \alpha_j),$ 其中 $\boldsymbol \alpha_1,\cdots,\boldsymbol \alpha_n$ 为一组基
共轭转置：$\boldsymbol {A^*}=\overline{\boldsymbol A}^T$

【定理、推论】

酉空间中两组标准正交基之间的过渡矩阵 $\boldsymbol P$ 满足 $\boldsymbol {P^*}\boldsymbol P=\boldsymbol I$

2.【共轭相合、酉相似、酉变换、规范】

【定义】

共轭相合：$\boldsymbol B=\boldsymbol{P^*AP},$ 其中 $\boldsymbol P$ 为可逆复方阵
正交阵：满足 $\boldsymbol P^T\boldsymbol P=\boldsymbol P\boldsymbol P^T=\boldsymbol I$ 即 $\boldsymbol P^T=\boldsymbol P^{-1}$ 的实方阵
酉方阵：满足 $\boldsymbol {U^*}\boldsymbol U=\boldsymbol {U}\boldsymbol {U^*}=\boldsymbol I$ 即 $\boldsymbol {U^*}=\boldsymbol U^{-1}$ 的复方阵
正交相似：存在正交方阵 $\boldsymbol P$ 使 $\boldsymbol B=\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol A\boldsymbol P$
酉相似：存在酉方阵 $\boldsymbol U$ 使 $\boldsymbol B=\boldsymbol U^{-1}\boldsymbol A\boldsymbol U$
正交变换 / 酉变换：线性变换 $\mathcal{A}:V\to V$ 满足 $\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V,(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}))=(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})$
对称变换 / $\text{Hermite}$ 变换：线性变换 $\mathcal{A}:V\to V$ 满足 $\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V,(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\alpha},\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}))$
伴随变换：线性变换 $\mathcal{A}:V\to V$ 存在唯一 $\mathcal A^{*}:V\to V$ 满足 $\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V,(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\alpha},\mathcal{A}^{*}(\boldsymbol{\beta}))$
规范变换：线性变换 $\mathcal{A}:V\to V$ 满足 $\mathcal A^{*}\mathcal A=\mathcal A\mathcal A^{*}$
规范方阵：复方阵 $\boldsymbol A$ 满足 $\boldsymbol A^{T}\boldsymbol A=\boldsymbol A\boldsymbol A^{T}$

【定理、推论】

$\text{Hermite}$ 方阵 $\boldsymbol H>0$ $\Longleftrightarrow$ 存在可逆上三角阵 $\boldsymbol T$ 使 $\boldsymbol T^*\boldsymbol H\boldsymbol T=\boldsymbol I$
实方阵 $\boldsymbol P$ 为正交阵 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol P$ 的列向量组为标准正交基 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol P$ 的行向量组为标准正交基
复方阵 $\boldsymbol U$ 为酉方阵 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol U$ 的列向量组为标准正交基 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol U$ 的行向量组为标准正交基
与规范方阵正交相似 / 酉相似的仍为规范方阵
上三角阵 $\boldsymbol T$ 为规范方阵 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol T$ 为对角阵
复方阵 $\boldsymbol A$ 为规范方阵 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol A$ 酉相似于对角阵
酉方阵酉相似于 $\boldsymbol D=\text{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n),$ 其中 $|\lambda_i|=1$
$\text{Hermite}$ 方阵酉相似于对角阵 $\boldsymbol D=\text{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n),$ 其中 $\lambda_i$ 为实数
反 $\text{Hermite}$ 方阵酉相似于对角阵 $\boldsymbol D=\text{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n),$ 其中 $\lambda_i$ 为 $0$ 或纯虚数（成对存在）
$\text{Hermite}$ 阵相合标准形：$\mathrm{diag}(\boldsymbol I_{p},-\boldsymbol I_{q},\boldsymbol O_{n-p-q}),$ 其中 $p+q=\mathrm{rank}\ \boldsymbol H$
$\text{Hermite}$ 阵 $\boldsymbol H$ 正定 $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol H$ 的特征值全为正实数

posted @ 2022-05-14 20:06 辰星凌阅读(874) 评论(0) 编辑收藏举报

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辰星凌的博客QAQ

时过而不知泪已落 ——散华礼弥

【学习笔记】线性代数——基础定义、定理汇总

【学习笔记】线性代数——基础定义、定理汇总

一：【线性空间】

1.【线性相关与线性无关】

【定义】

【定理、推论】

2.【向量组的秩】

【定义】

【定理、推论】

3.【子空间】

【定义】

【定理、推论】

4.【线性方程组】

【定义】

【定理、推论】

5.【同构与同态】

【定义】

【定理、推论】

6.【子空间的交、与和】

【定义】

二：【行列式】

1.【行列式定义】

【定义】

【定理、推论】

2.【展开定理】

【定义】

【定理、推论】

3.【Cramer 法则】

【定理、推论】

三：【矩阵】

1.【矩阵运算】

【定义】

【定理、推论】

2.【矩阵分块】

【定义】

【定理、推论】

3.【可逆矩阵】

【定义】

【定理、推论】

4.【初等矩阵与初等变换】

【定义】

【定理、推论】

5.【矩阵乘法与行列式】

【定理、推论】

6.【矩阵的秩与相抵】

【定义】

【定理、推论】

7.【多项式矩阵相抵】

【定义】

【定理、推论】

四：【线性映射和线性变换】

1.【线性映射】

【定义】

【定理、推论】

2.【基变换与坐标变换】

【定义】

【定理、推论】

3.【像与核】

【定义】

【定理、推论】

4.【相似】

【定义】

【定理、推论】

5.【特征向量】

【定义】

【定理、推论】

6.【最小多项式】

【定义】

【定理、推论】

五：【Jordan 标准形】

1.【Jordan 形矩阵】

【定义】

【定理、推论】

2.【根子空间】

【定义】

【定理、推论】

3.【循环子空间】

【定义】