【题解】情侣？给我烧了！[MtOI2018] [P4921]

【题解】情侣？给我烧了！[MtOI2018] [P4921]

传送门：情侣？给我烧了！\(\text{[MtOI2018] [P4921]}\)

【题目描述】

共 \(T\) \((T\leqslant 1000)\) 次询问，每次给出一个正整数 \(n\) \((n\leqslant 1000)\) ，表示有 \(n\) 对情侣和 \(n\) 排座位（每排有两个位置），对于 \(k\in[0,n]\)，求出恰好有 \(k\) 对情侣坐在同一排的方案数。

【分析】

组合意义天地灭，代数推导保平安。 —— tiger0133

这里提供一个不需要费脑子的二项式反演做法（其实柿子都一样，只是这样做更易理解）。

题面加粗黑体字已经给出了很明显的提示，按照套路先设计两个状态：

\(f(i)\)：恰好有 \(i\) 对情侣坐在一排的方案数。

\(g(i)\)：至少有 \(i\) 对情侣坐在一排的方案数。

易知 \(g(k)=\sum_{i=k}^{n}C_{i}^{k}f(i)\) 。

由二项式反演可得：\(f(k)=\sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}C_{i}^{k}g(i)\) 。

其中 \(g(i)=C_{n}^{i}A_{n}^{i}(2!)^{i}(2n-2i)!\)，\(C_{n}^{i}\) 表示的是选定坐同一排的某 \(i\) 对情侣，\(A_{n}^{i}\) 为选定某 \(i\) 排，\((2!)^{i}\) 为这 \(i\) 对情侣内部顺序的乘积，\((2n-2i)!\) 表示剩下的人可以随便排。

则：

\[\begin{aligned}f(k)&=\sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}C_{i}^{k}C_{n}^{i}A_{n}^{i}(2!)^{i}(2n-2i)!\\&=\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^{i}C_{i+k}^{k}C_{n}^{i+k}A_{n}^{i+k}2^{i+k}(2n-2k-2i)!\\&=\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^{i}\frac{(i+k)!}{k!i!}\frac{n!}{(i+k)!(n-i-k)!}\frac{n!}{(n-i-k)!}2^{i+k}(2n-2k-2i)!\\&=\frac{2^{k}(n!)^2}{k!}\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^{i}2^{i}}{i!}\frac{(2n-2k-2i)!}{((n-k-i)!)^{2}} \end{aligned} \]

观察后面那个求和柿子，其值只与给定的上界 \(n-k\) 有关，在同一上界下对于不同的 \(n\) 都是一样的结果。把它预处理出来即可 \(O(1)\) 查询。

时间复杂度为：\(O(n^2+Tn)\) 。预处理的那个柿子是个卷积的形式，可以用 \(\text{NTT}\) 优化到 \(O(n\log n)\)，但意义不大，也过不了加强版。

【Code】

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio> 
#define LL long long
#define Re register int
using namespace std;
const int N=2003,P=998244353;
int n,T,h[N],Mi[N],jc[N],inv[N],invjc[N];
inline void in(Re &x){
    int f=0;x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    x=f?-x:x;
}
int main(){
//    freopen("123.txt","r",stdin);
    inv[1]=Mi[0]=jc[0]=jc[1]=invjc[0]=invjc[1]=1,Mi[1]=2;
    for(Re i=2;i<=2000;++i)jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%P,inv[i]=(LL)inv[P%i]*(P-P/i)%P,invjc[i]=(LL)invjc[i-1]*inv[i]%P,Mi[i]=(Mi[i-1]<<1)%P;
    for(Re i=0;i<=1000;++i)
        for(Re j=0;j<=i;++j)
            (h[i]+=(LL)((j&1)?P-1:1)*invjc[j]%P*Mi[j]%P*jc[i-j<<1]%P*invjc[i-j]%P*invjc[i-j]%P)%=P;
    in(T);
    while(T--){
        in(n);
        for(Re k=0;k<=n;++k)printf("%lld\n",(LL)jc[n]*jc[n]%P*invjc[k]%P*Mi[k]%P*h[n-k]%P);
    }
}