BZOJ 1096: [ZJOI2007]仓库建设【斜率优化】

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

题解

这题就是典型的DP斜率优化，其实就是为了实现单调序列。
我们先来讲一下普通的DP的解法。
我们设sum[i]表示从0到i中p[i]的前缀和，这样(sum[i]−sum[j])∗x[i]就表示j+1~i从0搬到i的花费,然后我们就想到S[i]是x[i]∗p[i]的前缀和。
然后转移方程就是

f[i]=min(f[i],f[j]+(sum[i]−sum[j])∗x[i]−(S[i]−S[j]))

所以我们可以得到这样一个公式

(f[i]−f[j]+S[i]−S[j])/(sum[i]−sum[j])

代码如下

#include<cstdio>
#include<cctype>
#define MAXN 1000005
using namespace std;
int n,hd,tl,que[MAXN];
long long f[MAXN],sum[MAXN],S[MAXN],x[MAXN],p[MAXN],C[MAXN];
int read(){
    int ret=0;char ch=getchar();bool flg=1;
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) flg^=!(ch^'-');
    for(; isdigit(ch);ch=getchar()) ret=ret*10+ch-48;
    return flg?ret:-ret;
}
double cal(int j,int i){return (double)(f[i]-f[j]+S[i]-S[j])/(double)(sum[i]-sum[j]);}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=read(),p[i]=read(),C[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+p[i],S[i]=S[i-1]+x[i]*p[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
//      for(int j=1;j<=i;j++)
//      f[i]=min(f[i],f[j]+(sum[i]-sum[j])*x[i]-(S[i]-S[j]));
//      f[i]+=C[i];
        while(hd<tl&&cal(que[hd],que[hd+1])<x[i]) hd++;
        f[i]=f[que[hd]]+(sum[i]-sum[que[hd]])*x[i]-(S[i]-S[que[hd]])+C[i];
        while(hd<tl&&cal(que[tl-1],que[tl])>cal(que[tl],i)) tl--;
        que[++tl]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}