BZOJ 1096: [ZJOI2007]仓库建设【斜率优化】

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

  L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到以下数据:1:工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);2:工厂i目前已有成品数量Pi;:3:在工厂i建立仓库的费用Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。

Input

  第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

  仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

题解

这题就是典型的DP斜率优化,其实就是为了实现单调序列。
我们先来讲一下普通的DP的解法。
我们设sum[i]表示从0到ip[i]的前缀和,这样(sum[i]sum[j])x[i]就表示j+1~i从0搬到i的花费,然后我们就想到S[i]x[i]p[i]的前缀和。
然后转移方程就是

f[i]=min(f[i],f[j]+(sum[i]sum[j])x[i](S[i]S[j]))

所以我们可以得到这样一个公式
(f[i]f[j]+S[i]S[j])/(sum[i]sum[j])

代码如下

#include<cstdio>
#include<cctype>
#define MAXN 1000005
using namespace std;
int n,hd,tl,que[MAXN];
long long f[MAXN],sum[MAXN],S[MAXN],x[MAXN],p[MAXN],C[MAXN];
int read(){
    int ret=0;char ch=getchar();bool flg=1;
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) flg^=!(ch^'-');
    for(; isdigit(ch);ch=getchar()) ret=ret*10+ch-48;
    return flg?ret:-ret;
}
double cal(int j,int i){return (double)(f[i]-f[j]+S[i]-S[j])/(double)(sum[i]-sum[j]);}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=read(),p[i]=read(),C[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+p[i],S[i]=S[i-1]+x[i]*p[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
//      for(int j=1;j<=i;j++)
//      f[i]=min(f[i],f[j]+(sum[i]-sum[j])*x[i]-(S[i]-S[j]));
//      f[i]+=C[i];
        while(hd<tl&&cal(que[hd],que[hd+1])<x[i]) hd++;
        f[i]=f[que[hd]]+(sum[i]-sum[que[hd]])*x[i]-(S[i]-S[que[hd]])+C[i];
        while(hd<tl&&cal(que[tl-1],que[tl])>cal(que[tl],i)) tl--;
        que[++tl]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}
posted @ 2018-03-20 08:52  XSamsara  阅读(51)  评论(0编辑  收藏