傅里叶变换

说明

对于傅里叶变换的学习
洛谷日报-傅里叶变换

傅里叶级数

基本原理

假设\(f(x)\)可以拆分为若干三角函数的和，那么

\(f(x) = \sum_{n \geq 0}{sin(nx + \theta)}\)

有\(sin(nx + \theta) = sin(nx)cos(\theta) + cos(nx)sin(\theta)\)

那么\(f(x) = sin(\theta) + \sum_{n \geq 1}{sin(nx) * cos(\theta) + \sum_{n >= 1} {cos(nx)sin(\theta)}}\)

也就是\(f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n \geq 1}{(cos(nx) * a_n + sin(nx)*b_n)}\)

\(\frac{a_0}{2}\)是为了保持\(a0\)和\(a_n\)的形式一致

直观的讲，任何奇函数可以由\(sin(nx) * b_n\)拟合

直观的讲，任何偶函数可以由\(cos(nx) * a_n\)拟合

如何求出\(a_n\)?根据正交函数族的性质，和函数项级数一致收敛的性质,有

\(f(x)*cos(mx) = \frac{a_0}{2}*cos(mx) + \sum_{n \geq 1}{(cos(nx) * a_n*cos(mx) + sin(nx)*b_n)*cos(mx)}\)

然后在\([-\pi,\pi]\)上积分，由于正交函数组的性质，有

\(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)*cos(mx)dx = \pi * a_m\)

这里有一个问题我们在不经意间交换了无限求和和积分顺序，只有当函数项一致收敛时，这样的操作才是对的

于是我们有\(a_m = \frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^{\pi}f(x)*cos(mx)dx}\)

这样就可以求出所有的傅里叶系数

狄利克雷定理

假设\(f(x)\)以\(2 * \pi\)为周期

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1.如果在任何有限区间上，\(f(x)\)是分段可微的，那么它的傅里叶级数在整个数轴上都收敛，并且

其中\(f(x - 0),f(x + 0)\)分别为f(x)的左极限和右极限

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2.如果在任何有限区间上，\(f(x)\)是分段可微的，并且处处连续，那么它的傅里叶级数，一致收敛于f(x)

基本思路

根据欧拉定理，$$