高数笔记

说明

同济高数读书笔记
近似、近似、近似、各种近似

预备知识

极限 -> 导数 -> 微分

\(dy = f'(x)dx\)，dy本质上是一个线性函数，用线性函数来近似逼近复杂的函数

极限、无穷小

无限个无穷小的和不一定是无穷小 : 概率密度函数，处处为0，但是和为1

中值定理

还有一个柯西中值定理
\(a <= \zeta <= b\)
\(f(b) - f(a) = f'(\zeta) * (b - a)\)
\(f(b) - f(a) = f(\zeta) * (b - a)\)

微分

dy是关于dx的一次函数，用来线性逼近
那么，微分用来近似计算：
\(sqrt(1.05) \approx sqrt(1) + sqrt'(1) * 0.5\)，也就是
\(f(x + dx) = f(x) + f'(x) * dx\)

洛必达法则

常见的等价无穷小

\(x \approx sin(x)\)
\(x \approx tan(x)\)
\((1 + x)^a \approx 1 + ax\)
\(e^x \approx 1 + x\)
\(Ln（1 + x） \approx x\)

极限存在准则

夹逼定理，如果存在常数a,\(a \leq n_n \leq a\),那么\(b_n\)的极限存在
单调有界定理，如果有界函数是单调的，必然存在极限
柯西极限存在准则，如果\(\lim_{n \rightarrow {\inf}} ( a_{(n)} - a_{(n + 1)} ) < 任意小的常数\),极限存在

用多项式近似函数

泰勒公式

带入\(x_0 = 0\)
麦克劳林展开

弧微分

求曲线周长啥的，直线没有办法求，就需要弧微分了
\(ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + y'^2}dx\)