自动机理论与应用

说明

本文主要关注正则语言和上下文无关语言
正则表达式教程

绘图软件（JFLAP）

这东西是某个大学开发出来的自动机教学软件，很实用，各种自动机专业户
JFLAP官网
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2.百度云盘 JFLAP.jar 提取码 : u63e

正则语言

可被有限状态自动机、正则表达式、正则文法表示，三种描述方法等价
在并、接合、Kleene星号、补、交、差、逆、字母替换运算下闭合

有限状态自动机

每个正则语言有唯一最简DFSM

1.如何最小化DFSM

Moore算法（子集划分法）

记n为状态数量，\(|\sum|\)为字符集大小
最坏复杂度\(O(n^2|\sum|)\),期望复杂度\(O(nlog(n)|\sum|)\)，log(n)意味着平均条件下，迭代的深度只有log(n),单次迭代的复杂度是\(O(n|\sum|)\)

把状态划分为终态和非终态集合
不停的划分集合 ：如果同一集合中的状态s1，s2，move(s1,ch)、move(s2,ch)不在同一组，那么它们就是可区分的
分裂该集合，继续循环，直到所有集合无法区分，划分即完毕
然后按照原转移关系，在新DFSM上画出转移边即可

Hopcroft算法

看不懂论文，这算法是Moore算法的一个改进，优化了复杂度
有一说一网上基本没有Hopcroft算法的实现，需要在论文里面找

Brzozowski算法

一句话:先反着做一遍NFA转DFA, 然后再正着做一遍NFA转DFA
一遍消除冗余前缀，一遍消除冗余后缀
因为你一般都先构造NFA，再转化到DFA，做两次就能最小化...这个办法其实很方便
Brzozowski (1963) 注意到，将DFA的边反转将产生一个原语言反序的NFA。再将这个NFA用标准的幂集构造法（只构造转换后DFA的可达状态）转换为DFA，就会产生原语言反序的最小DFA。重复反转操作，就可以得到原语言的最小DFA。Brzozowski算法在最坏情况下的复杂度是指数的，因为存在这样的正则语言，其反序的最小DFA的规模是原语言DFA规模的指数大。但通常来说这个算法比最坏情况表现得要好

2.NDFSM如何转DFSM

首先定义ε-closure({states})为，集合中的状态通过若干ε边能抵达的所有转态集合
记 T0 = ε-closure（初始状态） = {0,1,2,4,7}
move(T0,a) = {3,8}
ε-closure({3,8}) = {1,2,3,4,6,7,8} = T1

状态	ε-closure（move(Ti,a)）	ε-closure(move(Ti,b))
T0 =	T1	T2
T1 =	T1	T3
T2 =	T1	T2
T3 =	T1	T4
T4 =	T1	T2
T0就是起始状态，包含原终态的就是，新终态

3.正则表达式和NDFSM的转换

正则表达式转NDFSM

这比较简单

NDFSM转正则表达式

过程可能很复杂，比如

的正则表达式是

((aa+ab(bb)*ba)*(b+ab(bb)*a)(a(bb)*a)*(b+a(bb)*ba))*(aa+ab(bb)*ba)*(b+ab(bb)*a)(a(bb)*a)*

4.正则文法和DFSM的转换

5.有限状态自动机的一些操作

求补：把终态变为非终态，非终态变为终态即可
反串：把终态变为非终态，同时反向所有边

正则文法

很少用，因为限制很多，只允许形如
\(S\rightarrow a,S\rightarrow ε,T \rightarrow aS\)
的文法

上下文无关语言

上下文无关文法

S -> aSb
S -> ab

上下文有关文法

aSb -> aaSbb
S -> ab

如何简化上下文无关文法

1.寻找和删除不生产的变量

2.寻找和删除不可达的变量

如何消除歧义性

歧义性指存在一个字符串，可以生成多颗分析树
存在固有歧义性

1.消除ϵ规则

如\(S \rightarrow ϵ\)

2.消除堆成规则

如\(E \rightarrow E + E\)

3.导致歧义性连接两个可选后缀的规则集

比如悬垂else

范式

下推自动机

有很多定义，本质上多种定义都等价
拥有两个栈或者一个队列的下推自动机等价于图灵机

一种定义

允许一次压入或者弹出多个或者0个字符
当且仅当，到达终态并且栈为空的时候，接受该串

常见的变形定义：允许栈不为空时接受，或者在栈为空时直接接受，或者每次可以压入弹出一个/多个字符

基本定理

1.不能确定一个下推自动机是不是最简的，
2.非确定性下推自动机不能并行模拟
3.不能把一个非确定性下推自动机转换为确定性下推自动机
4.每个下推自动机对应一个等价上下文无关文法
5.下推自动机在并，接合，Kleene星号，逆，字母替换时闭合
6.下推自动机在交，差，补下不闭合