弗洛伊德算法

弗洛伊德算法

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Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)。

[编辑]原理

Floyd-Warshall算法的原理是动态规划。

设D_{i,j,k}为从i到j的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。

  1. 若最短路径经过点k，则D_{i,j,k}=D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1}；
  2. 若最短路径不经过点k，则D_{i,j,k}=D_{i,j,k-1}。

因此，D_{i,j,k}=\mbox{min}(D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1},D_{i,j,k-1})。

在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。（见下面的算法描述）

[编辑]算法描述

Floyd-Warshall算法的描述如下：

for k ← 1 to n do
  for i ← 1 to n do
    for j ← 1 to n do
      if (
D_{i,k} + D_{k,j} < D_{i,j} 
) then
D_{i,j} 
 ←
D_{i,k} + D_{k,j} 
;

其中D_{i,j}表示由点i到点j的代价，当D_{i,j}为 ∞ 表示两点之间没有任何连接。

[编辑]请参阅

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posted @ 2012-08-07 17:20  max_xbw  阅读(322)  评论(0)    收藏  举报