球缺与球台公式完整总结表

球缺与球台公式完整总结表

基本定义

• 球缺：球被一个平面截下的部分，形状如帽子或碗
• 球台：球被两个平行平面截下的中间部分，形状如桶或带

通用参数

• 球半径：\(R\)
• 球缺高：\(h\)
• 球台高：\(h\)
• 底面半径：\(r\)（球缺），\(r_1, r_2\)（球台）

球缺公式

项目	公式	说明
体积	\(V = \dfrac{1}{3}\pi h^2(3R - h)\)	也可写作 \(V = \pi h^2\left(R - \dfrac{h}{3}\right)\)
底面半径	\(r = \sqrt{h(2R - h)}\)	由勾股定理推导
曲面面积	\(S_{\text{曲}} = 2\pi R h\)	球冠面积，不含底面
总表面积	\(S_{\text{总}} = 2\pi R h + \pi r^2\)	含底面面积
几何关系	\(r^2 + (R - h)^2 = R^2\)	基本勾股关系

球台公式

项目	公式	说明
体积	\(V = \dfrac{1}{6}\pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)\)	对称形式，不显含 \(R\)
曲面面积	\(S_{\text{曲}} = 2\pi R h\)	球带面积，不含底面
总表面积	\(S_{\text{总}} = 2\pi R h + \pi(r_1^2 + r_2^2)\)	含上下底面面积

求球半径 \(R\)（已知 \(r_1, r_2, h\)）

三步法（推荐记忆）

1. \(A = \dfrac{r_1^2 - r_2^2}{h}\)
2. \(d_1 = \dfrac{A - h}{2}\)
3. \(R = \sqrt{r_1^2 + d_1^2}\)

记忆口诀：

• 差方除高得A
• A减高半得d
• 勾股定理得R

总公式（完整形式）

\[R = \sqrt{r_1^2 + \left[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{r_1^2 - r_2^2}{h} - h\right)\right]^2} \]

等价形式

\[R = \sqrt{r_2^2 + \left[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{r_1^2 - r_2^2}{h} + h\right)\right]^2} \]

特殊情况

情况	公式	说明
对称球台 \((r_1 = r_2)\)	\(R = \sqrt{r_1^2 + \left(\dfrac{h}{2}\right)^2}\)	球心在球台正中间
球缺情况 \((r_2 = 0)\)	\(R = \dfrac{r_1^2 + h^2}{2h}\)	下底面半径为0时
半球缺 \((h = R)\)	\(V = \dfrac{2}{3}\pi R^3\)	半球体积的一半

重要性质

• 曲面面积统一性：\(S_{\text{曲}} = 2\pi R h\)（球缺和球台的曲面面积公式相同）
• 体积关系：球台体积 = 大球缺体积 - 小球缺体积
• 几何约束：
  \[\begin{aligned} r_1^2 &= R^2 - d_1^2 \\ r_2^2 &= R^2 - d_2^2 \\ h &= d_2 - d_1 \end{aligned} \]

应用说明

1. 公式选择建议：

   • 日常计算：优先使用三步法，避免记忆复杂总公式
   • 理论推导：使用总公式进行符号运算
   • 特殊情况：使用对应的简化公式

2. 验证方法：
   计算得到的 \(R\) 应同时满足：

   \[\begin{aligned} R^2 &= r_1^2 + d_1^2 \\ R^2 &= r_2^2 + (d_1 + h)^2 \end{aligned} \]

3. 几何意义：

   • \(A = d_1 + d_2\)：上下底面到球心的距离之和
   • \(d_1\)：上底面到球心的距离（可正可负）
   • 当 \(d_1 < 0\) 时，球心位于球台下方

球缺公式证明

1. 球缺体积公式证明

方法一：旋转体积分法

建立坐标系：球心在原点，球方程为 \(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\)

球缺高度为 \(h\)，顶点在 \((0,0,R)\)，底面在 \(z = R-h\)

在高度 \(z\) 处截面半径：\(\rho^2 = R^2 - z^2\)

截面面积：\(A(z) = \pi\rho^2 = \pi(R^2 - z^2)\)

体积积分：

\[V = \int_{R-h}^{R} A(z) dz = \int_{R-h}^{R} \pi(R^2 - z^2) dz \]

\[= \pi \left[ R^2z - \frac{1}{3}z^3 \right]_{R-h}^{R} \]

\[= \pi \left( \frac{2}{3}R^3 - \left[ R^2(R-h) - \frac{1}{3}(R-h)^3 \right] \right) \]

\[= \pi \left( \frac{2}{3}R^3 - R^3 + R^2h + \frac{1}{3}R^3 - R^2h + Rh^2 - \frac{1}{3}h^3 \right) \]

\[= \pi \left( Rh^2 - \frac{1}{3}h^3 \right) = \frac{1}{3}\pi h^2(3R - h) \]

方法二：球缺体积公式的几何推导

球缺体积 = 球扇形体积 - 圆锥体积

球扇形体积：\(V_{\text{扇形}} = \frac{2}{3}\pi R^2 h\)

圆锥体积：\(V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3}\pi r^2 (R-h)\)

其中 \(r^2 = h(2R-h)\)

代入得：

\[V = \frac{2}{3}\pi R^2 h - \frac{1}{3}\pi h(2R-h)(R-h) \]

\[= \frac{1}{3}\pi h \left[ 2R^2 - (2R-h)(R-h) \right] \]

\[= \frac{1}{3}\pi h \left[ 2R^2 - (2R^2 - 3Rh + h^2) \right] \]

\[= \frac{1}{3}\pi h (3Rh - h^2) = \frac{1}{3}\pi h^2(3R - h) \]

2. 球缺底面半径公式证明

剖面图中，球心、底面圆心和底面边缘点构成直角三角形

应用勾股定理：

\[r^2 + (R-h)^2 = R^2 \]

\[r^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) \]

\[= 2Rh - h^2 = h(2R - h) \]

3. 球缺曲面面积（球冠面积）证明

球面方程：\(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\)

曲线 \(x = \sqrt{R^2 - z^2}\) 绕 z 轴旋转形成球面

弧长微分：

\[ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dz} \right)^2} dz \]

\[= \sqrt{1 + \left( \frac{-z}{\sqrt{R^2 - z^2}} \right)^2} dz \]

\[= \sqrt{1 + \frac{z^2}{R^2 - z^2}} dz = \frac{R}{\sqrt{R^2 - z^2}} dz \]

旋转曲面面积公式：

\[S = \int_{R-h}^{R} 2\pi x ds \]

\[= \int_{R-h}^{R} 2\pi \sqrt{R^2 - z^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 - z^2}} dz \]

\[= \int_{R-h}^{R} 2\pi R dz = 2\pi R [z]_{R-h}^{R} = 2\pi R h \]

球台公式证明

1. 球台体积公式证明

方法一：积分法

球台介于平面 \(z = a\) 和 \(z = a+h\) 之间

截面半径：\(\rho^2 = R^2 - z^2\)

截面面积：\(A(z) = \pi(R^2 - z^2)\)

体积积分：

\[V = \int_{a}^{a+h} \pi(R^2 - z^2) dz \]

\[= \pi \left[ R^2z - \frac{1}{3}z^3 \right]_{a}^{a+h} \]

\[= \pi \left\{ R^2(a+h) - \frac{1}{3}(a+h)^3 - \left( R^2a - \frac{1}{3}a^3 \right) \right\} \]

\[= \pi h \left( R^2 - a^2 - ah - \frac{1}{3}h^2 \right) \]

利用几何关系：\(r_1^2 = R^2 - a^2\)，\(r_2^2 = R^2 - (a+h)^2\)

两式相加：

\[r_1^2 + r_2^2 = 2R^2 - 2a^2 - 2ah - h^2 \]

\[R^2 - a^2 - ah = \frac{r_1^2 + r_2^2}{2} + \frac{h^2}{2} \]

代回体积表达式：

\[V = \pi h \left( \frac{r_1^2 + r_2^2}{2} + \frac{h^2}{2} - \frac{1}{3}h^2 \right) \]

\[= \pi h \left( \frac{r_1^2 + r_2^2}{2} + \frac{h^2}{6} \right) \]

\[= \frac{1}{6}\pi h (3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2) \]

方法二：球缺体积差法

球台体积 = 大球缺体积 - 小球缺体积

大球缺高：\(H_2 = R + a + h\)

小球缺高：\(H_1 = R + a\)

体积：

\[V = \frac{1}{3}\pi H_2^2(3R - H_2) - \frac{1}{3}\pi H_1^2(3R - H_1) \]

\[= \frac{1}{3}\pi \left[ (R+a+h)^2(2R-a-h) - (R+a)^2(2R-a) \right] \]

展开整理后可得相同结果

2. 球台曲面面积（球带面积）证明

与球冠面积证明类似，积分区间变为 \(z = a\) 到 \(z = a+h\)

面积积分：

\[S = \int_{a}^{a+h} 2\pi x ds \]

\[= \int_{a}^{a+h} 2\pi \sqrt{R^2 - z^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 - z^2}} dz \]

\[= \int_{a}^{a+h} 2\pi R dz = 2\pi R [z]_{a}^{a+h} = 2\pi R h \]

3. 球台求球半径公式证明

已知 \(r_1, r_2, h\)，求 \(R\)

设上底面到球心距离为 \(d_1\)，下底面到球心距离为 \(d_2\)

几何关系：
\(r_1^2 = R^2 - d_1^2\)
\(r_2^2 = R^2 - d_2^2\)
\(d_2 - d_1 = h\)

前两式相减：

\[r_1^2 - r_2^2 = (R^2 - d_1^2) - (R^2 - d_2^2) \]

\[= d_2^2 - d_1^2 = (d_2 - d_1)(d_2 + d_1) \]

\[= h(d_2 + d_1) \]

解得：

\[d_1 + d_2 = \frac{r_1^2 - r_2^2}{h} \]

联立方程：
\(d_2 - d_1 = h\)
\(d_1 + d_2 = \frac{r_1^2 - r_2^2}{h}\)

解得：

\[d_1 = \frac{1}{2}\left( \frac{r_1^2 - r_2^2}{h} - h \right) \]

\[d_2 = \frac{1}{2}\left( \frac{r_1^2 - r_2^2}{h} + h \right) \]

代入 \(r_1^2 = R^2 - d_1^2\) 得：

\[R = \sqrt{r_1^2 + d_1^2} \]

\[= \sqrt{r_1^2 + \left[ \frac{1}{2}\left( \frac{r_1^2 - r_2^2}{h} - h \right) \right]^2} \]

特殊情况证明

1. 对称球台 (\(r_1 = r_2\)) 球半径公式

当 \(r_1 = r_2\) 时，\(r_1^2 - r_2^2 = 0\)

代入一般公式：

\[R = \sqrt{r_1^2 + \left[ \frac{1}{2}\left( 0 - h \right) \right]^2} \]

\[= \sqrt{r_1^2 + \left( \frac{h}{2} \right)^2} \]

2. 球缺 (\(r_2 = 0\)) 球半径公式

当 \(r_2 = 0\) 时，代入一般公式：

\[R = \sqrt{r_1^2 + \left[ \frac{1}{2}\left( \frac{r_1^2}{h} - h \right) \right]^2} \]

\[= \sqrt{r_1^2 + \frac{1}{4}\left( \frac{r_1^4}{h^2} - 2r_1^2 + h^2 \right)} \]

\[= \sqrt{ \frac{r_1^4}{4h^2} + \frac{r_1^2}{2} + \frac{h^2}{4} } \]

\[= \sqrt{ \left( \frac{r_1^2 + h^2}{2h} \right)^2 } = \frac{r_1^2 + h^2}{2h} \]