积性函数

一.定义

什么是积性函数，看 百度百科　还有策爷的博客

积性函数：对于任意互质的正整数a和b有性质 \(f(ab)=f(a)f(b)\)的数论函数。
完全积性函数：对于任意正整数a和b有性质\(f(ab)=f(a)f(b)\)的数论函数。

这里还有一个文档，讲得蛮详细的 线性筛积性函数
然后这里还有一个博客列举了很多常用的积性函数博客
2016年国家候选队论文任之洲积性函数求和的几种方法

对于两个算术函数 \(f\),\(g\) ，定义其狄利克雷卷积为 \(f*g\) ,其中 \((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)*g(\frac{n}{d})\)
狄利克雷卷积满足很多性质：
交换律：\(f∗g=g∗f,\)
结合律：\(f*(g*h)=(f*g)*h\)
逐点加法的分配律：\(f∗(g+h)=f∗g+f∗h\)
若\(f\),\(g\)是积性函数，那么\(f∗g\)也是积性函数。
狄利克雷卷积可以用\(O(nlogn)\)的筛法预处理出来。

\(1(n)\) －不变的函数，定义为\(1(n)=1\)（完全积性）
\(id(n)\) －单位函数，定义为\(id(n)=n\)（完全积性）
\(\varepsilon(n)\) －定义为：若\(n=1\)，\(\varepsilon(n)=1\)；若\(n>1\)，\(\varepsilon(n)=0\)。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
\(\sigma_{k}(n)\) － \(n\)的所有正因子的\(k\)次幂之和
\(\sigma(n)\) - \(n\)的所有质因子之和（\(\sigma_{1}(n)\)）
\(d(n)\) － \(n\)的正因子个数（\(\sigma_{0}(n)\)）

因为 \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\) ，所以 \(1*\mu=\varepsilon\)(由前者证明后者)
因为 \(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\) ，所以 \(1*\varphi=id\)(由前者证明后者)
还有一点，莫比乌斯函数与欧拉函数之间的转化 $$id\mu=1\varphi\mu=\varepsilon\varphi=\varphi$$

二.线性筛法

（一）线性筛素数

设\(n=p*m=p^\prime*m^\prime\)，其中\(n\)维合数，\(p\)为\(n\)的最小质因子。那么，$ p<p^\prime \(　并且　\) m^\prime<m $， \(p|m^\prime\) 所以在筛到\(m^\prime\)的时候，内维的\(j\)循环还没有到\(p^\prime\)就会被\(p\)给break掉，在到\(m\)的时候，\(j\)到\(p\)后就会筛掉\(n\)，所以这样就保证了每一个数之后被它最小的质因子筛掉。
例如，在筛24的时候， $ 24 = 3 * 8 = 2 * 12 $ ，那么它就只会被\(2 * 12\)筛掉

For (i,2,n) {
	if (!vis[i]) p[++N]=i;
	For (j,1,N) {
		if (i*p[j]>n) break;
		vis[i*p[j]]=1;
		if (i%p[j]==0) break;
	}
}

（二）欧拉函数

１．性质

• (1) \(\varphi(n)\)表示\(1..n\)中与\(n\)互质的数的个数

• (2) \(\varphi(n)\)为积性函数

• (3) \(\varphi(p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)*p^{k-1}\)

• (4) 欧拉定理：\(a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod{n}\) 其中\((a,n)=1\)

• (5) \(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)

• (6) \(n>1\)时，\(1..n\)中与\(n\)互质的整数之和为\(\frac{n\varphi(n)}{2}\)

２．线性筛欧拉函数

具体的东西上面那个文档讲得很详细，这里只是补充几点

需要用到的性质
(1) \(p\) 为质数时 \(\varphi(p)=p-1\)
(2) 若 \(n=p*m\) 其中 \(p\) 为 \(n\) 的最小质因子，如果 \(p|m\) 那么 \(\varphi(n)=p*\varphi(m)\)
(3) 若 \(n=p*m\) 其中 \(p\) 为 \(n\) 的最小质因子，如果 \(p\not| m\) 那么 \(\varphi(n)=\varphi(p)*\varphi(m)=(p-1)*\varphi(m)\)
这一点根据积性函数性质可以得到

phi[1]=1;
For (i,2,n) {
	if (!vis[i]) {
		p[++N]=i;
		phi[i]=i-1;
	}
	For (j,1,N) {
		if (i*p[j]>n) break;
		vis[i*p[j]]=1;
		if (i%p[j]==0) {
			phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];
			break;
		}
		else
			phi[i*p[j]]=(p[j]-1)*phi[i];
	}
}

（三）莫比乌斯函数

１．性质

• 设 \(n=p_{1}^{k_{1}}*p_{2}^{k_{2}}*...*p_{m}^{k_{m}}\)，其中 \(p\) 为素数，那么

\[\mu(n)=\begin{cases} 1 \quad\quad\quad\quad n=1 \\\\ (-1)^{m} \quad \prod_{i=1}^{m}k_{i}=1 \\\\ 0 \quad\quad\quad\quad otherwise \end{cases}\]

• 莫比乌斯函数是积性函数，即\(\mu(a)\mu(b)=\mu(a \cdot b)\)

• \(\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]\) ,这一点根据二项式定理即可证明

２．线性筛莫比乌斯函数

需要用到的性质
根据 \(\mu\) 的性质可以得到，如果 \(n=p*m\) ，其中 \(p\) 为 \(n\) 的质因子，如果 \(p|m\) 那么显然 \(\mu(n)=0\) ，否则 \(\mu(n)=-\mu(m)\)

miu[1]=1;
For (i,2,n) {
	if (!vis[i]) {
		p[++N]=i;
		miu[i]=-1;
	}
	For (j,1,N) {
		if (i*p[j]>n) break;
		vis[i*p[j]]=1;
		if (i%p[j]==0) {
			miu[i*p[j]]=0;
			break;
		}
		else
			miu[i*p[j]]=-miu[i];
	}
}

（四）约数个数\(d(n)\)

如果 \(d(n)\) 为 \(n\) 的约数个数，那么

\[d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)=1] \]

设 \(nm=p_{1}^{x_{1}}*...*p_{k}^{x_{k}}\)，且 \(n=p_{1}^{y_{1}}*...*p_{k}^{y_{k}}\)，那么 \(m=p_{1}^{x_{1}-y_{1}}*...*p_{k}^{x_{k}-y_{k}}\)
设 \(i=p_{1}^{a_{1}}*...*p_{k}^{a_{k}}\)，\(j=p_{1}^{b_{1}}*...*p_{k}^{b_{k}}\)
要使得 \(gcd(i,j)=1\) 必须要 \(a_{i}\) 或者 \(b_{i}\) 等于 \(0\)，如果 \(a_{i}\) 等于 \(0\)，那么 \(b_{i}\) 共有 \(x_{i}-y_{i}+1\) 种选择，如果 \(b_{i}\) 等于\(0\)，那么 \(a_{i}\) 共有 \(y_{i}+1\) 种选择，总共 \(x_{i}+1\) 种，所以满足条件的\(i,j\)的个数为\(\prod(x_{i}+1)\)

（五）奇葩函数

1.\(f(n)=\sum_{d|n}d\mu(d)\)

\[f(n)=\sum_{d|n}d\mu(d)=\prod_{p_{i}}f(p_{i}^{x_{i}})=\prod_{p_{i}}(\sum_{d|p_{i}^{x_{i}}}d\mu(d))=\prod_{p_{i}}(1-p_{i}) \]

f[1]=1;
For (i,2,maxx) {
	if (!vis[i]) {
		p[++N]=i; f[i]=1-i;
	}
	For (j,1,N) {
		int k=i*p[j];
		if (k>maxx) break;
		vis[k]=1;
		if (i%p[j]==0) {
			f[k]=f[i]; break;
		}
		else f[k]=f[i]*(1-p[j]);
	}
}