洛谷P9541 「AWOI Round 2 D」数字三角形 题解

Problem

Solution

通过题目意思发现，有三种情况：

1. 没有旋转的初始情况

2. 旋转一次的情况

3. 旋转两次的情况

我们考虑怎么处理初始情况，其他情况同理。

首先，我们发现经过数和最大一定可以保证是每行的最大值的总和，所以只要计算最小的消耗就可以了。

考虑 DP，设 \(dp_{i,j}\) 表示从上往下走到 \(i,j\) 时使每行都取最大值时的最小消耗。

容易想到如果当前的数就是当前行的最大值，便可以直接从 \(dp_{i-1,j-1}\) 和 \(dp_{i-1,j}\) 转移过来；如果不是，则只需再加 \(1\) 即可（因为可以调换任意两个数的位置）。

每行的最大值预处理或者动规时处理均可。

注意边界和初始值。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define elif else if
// #define int long long

const int N=1e3+4,INF=INT_MAX;
int n,a[N][N],b[N][N],Maxsum,Minmagic,Max[N],dp[N][N];
void work(int sum,int magic)
{
	For(i,1,n)Max[i]=0;
	For(i,1,n)For(j,1,i)dp[i][j]=INF,Max[i]=max(Max[i],a[i][j]);
	For(i,1,n)sum+=Max[i];
	For(i,1,n)
		For(j,1,i)
			if(a[i][j]==Max[i])dp[i][j]=min(dp[i][j],min(dp[i-1][max(1,j-1)],dp[i-1][min(i-1,j)]));
				else dp[i][j]=min(dp[i][j],min(dp[i-1][max(1,j-1)],dp[i-1][min(i-1,j)])+1);
	int Min=INF;
	For(i,1,n)Min=min(Min,dp[n][i]);
	magic+=Min;
	if(sum>Maxsum)Maxsum=sum,Minmagic=magic;
		elif(sum==Maxsum)Minmagic=min(Minmagic,magic);
}
signed main()
{
	IOS;
	cin>>n;
	For(i,1,n)For(j,1,i)cin>>a[i][j];
	work(0,0);
	For(i,1,n)For(j,1,i)b[i][j]=a[i][j];
	For(i,1,n)For(j,1,i)a[i][j]=b[n+1-j][i-j+1];
	// For(i,1,n){For(j,1,i)cout<<a[i][j]<<" ";cout<<"\n";}
	work(0,n);
	For(i,1,n)For(j,1,i)b[i][j]=a[i][j];
	For(i,1,n)For(j,1,i)a[i][j]=b[n+1-j][i-j+1];
	// For(i,1,n){For(j,1,i)cout<<a[i][j]<<" ";cout<<"\n";}
	work(0,2*n);
	cout<<Maxsum<<" "<<Minmagic;

	return 0;
}