最短路

问题引入

给出一个有向图，请输出从某一点出发到所有点的最短路径长度。（不妨设从点 \(s\) 出发）

Floyd

枚举一个中转点 \(k\)，再依次枚举起点 \(i\)、终点 \(j\)，同时定义 \(f_{i,j}\) 表示从 \(i\) 到 \(j\) 的最短路，易知 \(f_{i,j}=min(f_{i,k}+f_{k,j})\)，时间复杂度 \(O(n^3)\)。

Dijkstra

定义两个集合 \(A\)，\(B\) 分别表示从 \(s\) 出发到当前点的最短路已经确定的点和未确定的点，为方便表示和统计，用 \(vis_i\) 表示 \(i\) 点是否在 \(A\) 集合中，同时定义 \(dis_i\) 表示从 \(s\) 出发到 \(i\) 点的最短路。

初始值即为 \(vis_s=1\)，\(dis_s=0\)，定义 \(now\) 表示当前的点，初始为 \(s\)，然后每次枚举与 \(now\) 相连的点，更新 \(dis_i=min(dis[now]+cost)\)（其中 \(cost\) 表示 \(now\) 到这些相连的点的距离），最后枚举没到过的点（即 \(vis=0\)）并赋值给 \(now\)，重复以上操作至所有 \(vis\) 都为 \(1\)。

时间复杂度 \(O(n^2)\)。

堆/优先队列优化

我们发现每次更新只需要找到最小的 \(cost\)，所以考虑用 \(STL\) 优化，用优先队列即可。

时间复杂度：\(O(n \log n)\)

例题

1

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
namespace IO
{
	inline int read()
	{
		register int x=0,f=0;register char ch=getchar();
		while(ch<'0' || ch>'9')f|=ch=='-',ch=getchar();
		while(ch>='0' && ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
		return f?-x:x;
	}
	inline void write(int x)
	{
		if(x<0){putchar('-');x=-x;}
		if(x>9)write(x/10);
		putchar(x%10+'0');
	}
	int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
}
using namespace IO;

const int N=1e4+4,INF=INT_MAX;
struct arr
{
	int to,w;
};
int n,m,s,dis[N];
bool vis[N];
vector<arr> edge[N];
int main()
{
	// cout<<INF<<"\n";
	n=read(),m=read(),s=read();
	For(i,1,m)
	{
		int u=read(),v=read(),w=read();
		arr p;
		p.to=v;p.w=w;
		edge[u].push_back(p);
	}
	For(i,1,n)dis[i]=INF,vis[i]=0;
	dis[s]=0;
	int now=s;
	while(!vis[now])
	{
		vis[now]=1;
		for(auto i:edge[now])if(!vis[i.to])dis[i.to]=min(dis[i.to],dis[now]+i.w);
		int Min=INF;
		For(i,1,n)
			if(!vis[i])
				if(dis[i]<Min)
				{
					Min=dis[i];
					now=i;
				}
	}
	For(i,1,n)write(dis[i]),putchar(' ');

	return 0;
}

优先队列优化 Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e4+4,M=5e5+4,INF=3e9;
struct Arr
{
	int u,v,w,next;
}e[M];
struct node
{
	int w,now;
	bool operator<(const node &x)const
	{
		return w>x.w;
	}
};
priority_queue<node>q;
long long head[N],t,vis[N],dis[N];
void add(int u,int v,int w)
{
	t++;
	e[t].u=u;
	e[t].v=v;
	e[t].w=w;
	e[t].next=head[u];
	head[u]=t;
}
inline int read()
{
	register int x=0,f=0;register char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9')f|=ch=='-',ch=getchar();
	while(ch>='0' && ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
int main()
{
	int n=read(),m=read(),s=read();
	for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++)
	{
		x=read(),y=read(),z=read();
		add(x,y,z);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=INF;
	dis[s]=0;
	q.push((node){0,s});
	while(!q.empty())
	{
		node x=q.top();
		q.pop();
		int u=x.now;
		if(vis[u]!=0)continue;
		vis[u]=1;
		for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].v;
			if(dis[v]>dis[u]+e[i].w)
			{
				dis[v]=dis[u]+e[i].w;
				q.push((node){dis[v],v});
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)cout<<dis[i]<<" ";

	return 0;
}

2

3

SPFA