KMP 算法学习笔记

问题引入

给出两个字符串 \(s1\) 和 \(s2\)，求出 \(s2\) 在 \(s1\) 中所有出现的位置（出现指 \(s1\) 中存在子串与 \(s2\) 完全相同）。

朴素暴力

不详细介绍，容易发现时间复杂度不优秀。

KMP 算法

思想

在朴素暴力中我们可以发现有很多匹配是不需要再次从头开始重新匹配的，举个例子：

ABABC
ABC

在匹配到第三位时发现失配，朴素做法即转到下一位重新从头匹配，当我们可以发现 AB 是重复的，可以直接从 \(s2\) 的第三位开始继续匹配（注意是 \(s2\)），从而提高效率，这就是 KMP算法的核心思想。

实现

我们可以定义一个 \(next\) 数组，我们先不用知道它是怎么来的，先知道它可以表示失配后在 \(s2\) 中下次匹配可以跳过的字符数。

如：

ABABABCAA
ABABC

\(next\) 数组为 0 0 1 2 0。

我们定义 \(i\) 表示 \(s1\) 上的指针，\(j\) 表示 \(s2\) 上的指针，可以发现在匹配到第五位时会失配，此时读取失配上一位的 \(next\) 数组的值为 2，也就表示可以跳过两位匹配，则 \(j\) 赋值为 2（假定字符串下标从 \(0\) 开始），接着往下匹配直至匹配结束。

代码：

void KMP()
{
	int i=0,j=0;
	while(i<len1)
	{
		if(s1[i]==s2[j])i++,j++; // 匹配成功
			elif(j>0)j=Next[j-1]; // 匹配失败则跳过一些字符
				else i++; // s2 的第一个字符就失配
		if(j==len2)cout<<i-j+1<<"\n"; // 匹配成功
	}
}

接下来考虑 \(next\) 数组。

以 ABABC 为例。

由上可知，\(next_3=2\)，简单思考便可以发现在字符串前 \(4\) 位中恰好长度为 \(2\) 的前缀等于长度为 \(2\) 的后缀，于是我们可以发现 \(next_i\) 的含义即为前 \(i\) 中最长相同前后缀的长度（注意前后缀不可以为本身，否则 \(next\) 数组将无意义）。

考虑用递推求 \(next\) 数组。

假设我们已经知道当前的共同前后缀了，接下来分两种情况讨论：

1. 下一个字符相同：在当前基础上加一即可；

2. 下一个字符不同：其实我们已经知道了前后缀相同的最长长度，并且当前子串的后缀等于之前子串的后缀，考虑转移到前面求共同的前后缀，因为我们已经求出之前的 \(next\) 值了，所以可以往下转移。

代码：

void build_next()
{
	int now=0,i=1,cnt=0; // now 表示当前共同前后缀的长度
	Next[0]=0; // 注意初始值
	while(i<len2)
		if(s2[now]==s2[i])
		{
			now++;
			Next[++cnt]=now;
			i++;
		}
			elif(now==0)Next[++cnt]=0,i++;
				else now=Next[now-1];
}

模板

洛谷 P3375

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define elif else if

const int N=1e6+4;
string s1,s2;
int len1,len2,Next[N];
void build_next()
{
	int now=0,i=1,cnt=0;
	Next[0]=0;
	while(i<len2)
		if(s2[now]==s2[i])
		{
			now++;
			Next[++cnt]=now;
			i++;
		}
			elif(now==0)Next[++cnt]=0,i++;
				else now=Next[now-1];
}
void KMP()
{
	int i=0,j=0;
	while(i<len1)
	{
		if(s1[i]==s2[j])i++,j++;
			elif(j>0)j=Next[j-1];
				else i++;
		if(j==len2)cout<<i-j+1<<"\n";
	}
}
int main()
{
	IOS;
	cin>>s1>>s2;
	len1=s1.size(),len2=s2.size();
	build_next();
	KMP();
	For(i,0,len2-1)cout<<Next[i]<<" ";

	return 0;
}