P4139 上帝与集合的正确用法

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题意：\(T\)组数据，对于每个模数\(p\)，求\(2^{2^{2^{...}}} mod\) \(p\)，\(T\le 10^3\)，\(p\le 10^7\)

思路：扩展欧拉定理
显然\({2^{2^{...}}}\)这个无限数，是大于\(\varphi(p)\)的，那么由扩展欧拉定理可得：
对于\(b\ge \varphi(p)\)，
有\(a^b\equiv a^{b\ mod\ \varphi(p)+\varphi(p)}\ mod\ p\)
很显然这个是递归式子，模数\(\varphi(p)\)很快会降为\(1\)，此时式子为\(0\)
对于\(\varphi(p)\)，我们可以用线性筛预处理得到
时间复杂度：\(O(p+Tlog\ p)\)

接下来我们谈一下，如何用线性筛预处理欧拉函数\(\varphi(x)\)
对于\(\varphi(x)\)我们利用如下性质：

• \(\varphi(x)=x-1\)，\(x\in prime\)
• \(\varphi(x^k)=x^k-x^{k-1}\)，\(x\in prime\)
• \(gcd(m,n)=1\),\(\varphi(mn)=\varphi(m) \varphi(n)\)

由此，我们得到欧拉函数是个积性函数，而线性筛可以预处理积性函数
Code：

bool vis[N];
int cnt,prime[N/10],phi[N],p,t;
void get_phi(int n){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}

套用这个模板，本题就很容易了
Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e7+10;
typedef long long ll;
bool vis[N];
int cnt,prime[N/10],phi[N],p,t;
void get_phi(int n){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}
int power(int a,int b,int p){
	int res=1;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1) res=1LL*res*a%p;
		a=1LL*a*a%p;
	}
	return res;
}
int solve(int x){
	if(x==1) return 0;
	return power(2,solve(phi[x])+phi[x],x);
}
int main(){
	get_phi(N);
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>p;
		cout<<solve(p)<<endl;
	}
	return 0;
}