P4139 上帝与集合的正确用法
题意:\(T\)组数据,对于每个模数\(p\),求\(2^{2^{2^{...}}} mod\) \(p\),\(T\le 10^3\),\(p\le 10^7\)
思路:扩展欧拉定理
显然\({2^{2^{...}}}\)这个无限数,是大于\(\varphi(p)\)的,那么由扩展欧拉定理可得:
对于\(b\ge \varphi(p)\),
有\(a^b\equiv a^{b\ mod\ \varphi(p)+\varphi(p)}\ mod\ p\)
很显然这个是递归式子,模数\(\varphi(p)\)很快会降为\(1\),此时式子为\(0\)
对于\(\varphi(p)\),我们可以用线性筛预处理得到
时间复杂度:\(O(p+Tlog\ p)\)
接下来我们谈一下,如何用线性筛预处理欧拉函数\(\varphi(x)\)
对于\(\varphi(x)\)我们利用如下性质:
- \(\varphi(x)=x-1\),\(x\in prime\)
- \(\varphi(x^k)=x^k-x^{k-1}\),\(x\in prime\)
- \(gcd(m,n)=1\),\(\varphi(mn)=\varphi(m) \varphi(n)\)
由此,我们得到欧拉函数是个积性函数,而线性筛可以预处理积性函数
Code:
bool vis[N];
int cnt,prime[N/10],phi[N],p,t;
void get_phi(int n){
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]){
prime[++cnt]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0){
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
套用这个模板,本题就很容易了
Code:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e7+10;
typedef long long ll;
bool vis[N];
int cnt,prime[N/10],phi[N],p,t;
void get_phi(int n){
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]){
prime[++cnt]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0){
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
int power(int a,int b,int p){
int res=1;
for(;b;b>>=1){
if(b&1) res=1LL*res*a%p;
a=1LL*a*a%p;
}
return res;
}
int solve(int x){
if(x==1) return 0;
return power(2,solve(phi[x])+phi[x],x);
}
int main(){
get_phi(N);
cin>>t;
while(t--){
cin>>p;
cout<<solve(p)<<endl;
}
return 0;
}