浅谈算法——splay
BST（二叉查找树）是个有意思的东西，种类巨TM多，然后我们今天不讲其他的，我们今天就讲splay
首先，如果你不知道Splay是啥，你也得知道BST是啥
如上图就是一棵优美的BST，它对于每个点保证其左子树内所有点小于自己，右子树内所有点大于自己，而且这棵树高只有\(\log n\)，所以找一个点只需要\(O(\log n)\)的时间
但是如果这个图长得极端一点就会变成这样……
这棵树就非常的不优美，每次查找的复杂度为\(O(n)\)，然后就\(O(n^2)\)了……
然后各种大佬们为了解决这个蓝瘦的事情，纷纷想出了一些解决方案，其中有个叫Tarjan的大佬，弄出了一个名叫Splay的玩意，然后我们来讲一下Splay的一些操作
1.旋转
旋转式BST（Splay是其中的一种）基本上都有此操作，不然不叫作旋转式，像fhqtreap那种非旋转式BST则没有该操作。网上大部分将旋转分为两个，ZIG与ZAG
感觉这张图一点都不清楚。。。其实是我懒得画一张了
左边到右边的是ZIG(x)，右边到左边是ZAG(y)
ZIG和ZAG的结合也有几种情况
你发现它们这样转来转去，这棵树依然满足BST性质的，而且上图ZIG-ZAG操作中，还减少了树的高度，所以旋转式BST就是基于ZIG，ZAG以及组合操作，通过不断旋转自身来保证其树高，使得其非常优美
但是，写4个旋转实在是太麻烦了，于是我们将其简化为一个函数
首先我们需要明白，splay的旋转操作只会影响到3个点
将x旋到根之后，其父亲和其儿子会如上图般变化，其他点都不会受到影响。那么这个旋转如何用一个函数来实现呢？
#define ls(x) tree[x][0]
#define rs(x) tree[x][1]
#define T(x) (rs(f[x])==x)
void move(int x){
int fa=f[x],son=tree[x][T(x)^1];
tree[x][T(x)^1]=fa;
tree[fa][T(x)]=son;
if (son) f[son]=fa;
f[x]=f[fa];
if (f[x]) tree[f[x]][T(fa)]=x;
f[fa]=x;
}
首先记录一下当前点的父亲，和其拐角后的儿子节点（先不管有没有父亲和儿子），然后将x的儿子改成fa，把fa的儿子改成son（记得改成拐角状）。
然后判断son是否存在，若存在，则f[son]=fa。
将x的父亲指向fa的父亲，不管fa的父亲是否存在（f[x]为零也可以）。
然后判断是否真正有f[x]（连边之后的父亲），如果有，那么将f[x]的儿子指向x，由于此时f[x]和fa的关系未断，因此可以直接用T(fa)，最后将fa的父亲指向x即可。
然后我们来看个有意思的东西
现在我们要把\(x\)旋到根上去，然后按照之前的旋转方法就有
然后我们把图中的一条链标记出来
也就是说你只对着\(x\)旋转的话，很有可能被卡，所以我们就要进行一些优化，我们在旋转的时候进行讨论，如果x-y-z在同一直线上，我们就先旋y再旋x，否则直接旋x，这个方法就是双旋，代码实现也非常简单
一般来讲，单旋速度优于双旋，但容易被卡（你可以试着画一跳长链，然后分别用双旋和单旋将链底的点旋上来，然后看一下树的形态）
void splay(int x){
while (f[x]){
if (f[f[x]]) T(x)==T(f[x])?move(f[x]):move(x);
move(x);
}
root=x;
}
Attention:move函数中的#define，对于之后的函数一直有效
2.插入
插入一个点的时候，从根节点找起，看要插入的点是要插在当前点的左边还是右边，如果要插在某一边且那一边刚好空着，就直接加进去即可，否则继续找。最后把插入的点splay到根，维护平衡
void insert(int x){
val[++len]=x;
if (!root){
size[root=len]=1;
return;
}
int i=root;
while (true){
size[i]++;
if (x<=val[i]){
if (!ls(i)){f[ls(i)=len]=i;break;}
i=ls(i);
}else{
if (!rs(i)){f[rs(i)=len]=i;break;}
i=rs(i);
}
}
splay(len);
}
3.找前驱/后继
由于splay是一棵BST，因此找前驱的话，我们只需要找root的左儿子中，最右边的叶子节点；后继同理
int get_pre(){
int x=ls(root);
while (rs(x)) x=rs(x);
return x;
}
int get_suc(){
int x=rs(root);
while (ls(x)) x=ls(x);
return x;
}
4.查询
由于splay是棵二叉树，记录一下size之后便可以很容易找到排第k个的数是谁了
int find(int x,int i){
if (!i) return 0;
if (size[ls(i)]+1==x) return i;
if (x<=size[ls(i)]) return find(x,ls(i));
return find(x-size[ls(i)]-1,rs(i));
}
5.删除
在通过某些特殊的方法得到需要删除的点的编号后（特殊方法什么的根据题意来），现将该点splay到根，如果左右儿子有一个空了，那么直接将那个没空的挪上来就好；否则就将其前驱/后继旋上来，然后判断一下x是new_root的左儿子还是右儿子，将x相应方向的儿子和new_root建立新的关系即可
void Delete(int x){
splay(x);
if (!(ls(x)&&rs(x))){
f[root=ls(x)+rs(x)]=0;
clear(x);
return;
}
int i=get_pre();
splay(i);
size[f[rs(i)=rs(x)]=i]--;
clear(x);
}
6.区间操作
多了区间操作的splay，为了防止越界，我们可以在最前面和最后面加上两个不动点，每次需要对区间[l,r]进行修改时，我们先把编号为l的点splay到根，再把编号为r+2的点splay到根，在旋的时候，l可能会变成r+2的孙子，我们把l单旋一下即可。这样子的话，l的左儿子就为我们需要求的那段区间了。
双旋的时候，2可能会变成5的孙子，那么我们把2单旋一下即可
splay的基本操作也就这些，下面我们来讲讲一个例题
例题
Tyvj 1728 普通平衡树
Description
您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
- 插入x数
- 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
- 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
- 查询排名为x的数
- 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
- 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)
Input
第一行为n，表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x，opt表示操作的序号(1<=opt<=6)
Output
对于操作3,4,5,6每行输出一个数，表示对应答案
Sample Input
10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598
Sample Output
106465
84185
492737
HINT
1.n的数据范围：n<=100000
2.每个数的数据范围：[-2e9,2e9]
splay经典板子题，用到之前说的所有操作。删点的话，先找排名，然后找点删除。至于查询排名，由于BST的优美性质，所以判断一下往左右递归即可
/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
return x*f;
}
inline void write(int x){
if (x>=10) write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5;
struct Splay{
#define ls(x) tree[x][0]
#define rs(x) tree[x][1]
#define T(x) (rs(f[x])==x)
int tree[N+10][2],f[N+10],size[N+10],val[N+10],root,len;
void updata(int x){size[x]=size[ls(x)]+size[rs(x)]+1;}
void clear(int x){f[x]=size[x]=ls(x)=rs(x)=0;}
void move(int x){
int fa=f[x],son=tree[x][T(x)^1];
tree[x][T(x)^1]=fa;
tree[fa][T(x)]=son;
if (son) f[son]=fa;
f[x]=f[fa];
if (f[x]) tree[f[x]][T(fa)]=x;
f[fa]=x;
updata(fa),updata(x);
}
void splay(int x){
while (f[x]){
if (f[f[x]]) T(x)==T(f[x])?move(f[x]):move(x);
move(x);
}
root=x;
}
int get_pre(){
int x=ls(root);
while (rs(x)) x=rs(x);
return x;
}
int get_suc(){
int x=rs(root);
while (ls(x)) x=ls(x);
return x;
}
void Delete(int x){
splay(x);
if (!(ls(x)&&rs(x))){
f[root=ls(x)+rs(x)]=0;
clear(x);
return;
}
int i=get_pre();
splay(i);
size[f[rs(i)=rs(x)]=i]--;
clear(x);
}
void insert(int x){
val[++len]=x;
if (!root){
size[root=len]=1;
return;
}
int i=root;
while (true){
size[i]++;
if (x<=val[i]){
if (!ls(i)){f[ls(i)=len]=i;break;}
i=ls(i);
}else{
if (!rs(i)){f[rs(i)=len]=i;break;}
i=rs(i);
}
}
splay(len);
}
int find(int x,int i){
if (!i) return 0;
if (size[ls(i)]+1==x) return i;
if (x<=size[ls(i)]) return find(x,ls(i));
return find(x-size[ls(i)]-1,rs(i));
}
int get_rank(int x){
int res=0;
for (int i=root;i;) val[i]<x?res+=size[ls(i)]+1,i=rs(i):i=ls(i);
return res+1;
}
void DELETE(int x){Delete(find(get_rank(x),root));}
void GETRANK(int x){printf("%d\n",get_rank(x));}
void RANK_GET(int x){printf("%d\n",val[find(x,root)]);}
void GET_PRE(int x){printf("%d\n",val[find(get_rank(x)-1,root)]);}
void GET_SUC(int x){printf("%d\n",val[find(get_rank(x+1),root)]);}
}Tree;
int main(){
int n=read();
for (int i=1;i<=n;i++){
int flag=read(),x=read();
if (flag==1) Tree.insert(x);
if (flag==2) Tree.DELETE(x);
if (flag==3) Tree.GETRANK(x);
if (flag==4) Tree.RANK_GET(x);
if (flag==5) Tree.GET_PRE(x);
if (flag==6) Tree.GET_SUC(x);
}
return 0;
}
