浅谈算法——线性基
线性基是竞赛中常用来解决子集异或一类题目的算法。（摘自百度百科）
线性基是一个整数序列的特殊集合，每个序列都至少存在一个线性基，同一个序列可以拥有多个不同的线性基；反过来，一个线性基只对应一个确定的序列。
线性基存在如下三条性质：
- 原序列中任意一个数都可以由若干个线性基内的数异或得到
- 线性基内的数无法异或得到0
- 线性基内没有重复元素，在保证性质一的前提下，线性基内的元素个数是最少的
在证明性质之前，首先看一下线性基的一种可行的构造法，基于这种构造法，能够保证线性基的三条性质
const int N=50;
ll A[N+10];
void Add(ll x){
for (int i=N;~i;i--){
if (x&(1ll<<i)){
if (A[i]) x^=A[i];
else{
A[i]=x;
break;
}
}
}
}
根据其构造方法，我们可以得出\(A\)数组的一个性质，若\(A[i]\)不为0，则\(A[i]_{(2)}\)的第\(i+1\)位必定为1，且\(A[i]_{(2)}\)的最高位即为第\(i+1\)位（证明略）
然后，我们来对其性质进行证明
性质一
对于一个数\(x\)，它仅存在两种结果，即成功插入线性基或者失败。分情况进行讨论：
如果\(x\)不能插入线性基，那么\(x\)在最后必然变成了0，则有\(x\otimes A[K_1]\otimes A[K_2]\otimes...\otimes A[K_p]=0\)（\(\otimes\)表示异或），那么则有\(A[K_1]\otimes A[K_2]\otimes...\otimes A[K_p]=x\)，满足性质一
如果\(x\)插入了线性基，记\(x\)插入的位置为\(i\)，则有\(x\otimes A[K_1]\otimes A[K_2]\otimes...\otimes A[K_p]=A[K_i]\)，那么则有\(A[K_1]\otimes A[K_2]\otimes...\otimes A[K_p]\otimes A[K_i]=x\)，同样满足性质一
性质二
其实蛮显然的……如果存在\(A[K_1]\otimes A[K_2]\otimes...\otimes A[K_p]=0\)，那么就有\(A[K_1]\otimes A[K_2]\otimes...\otimes A[K_{p-1}]=A[K_p]\)，与构造方法矛盾，故假设不成立，性质二证毕
性质三
根据构造方法可得，线性基内不可能存在重复元素；我们也可以知道，线性基内元素增加，当且仅当序列中的新元素\(x\)无法被原线性基中的元素表达，除此之外，线性基内不会增加新的元素，那么性质三证毕
然后，关于线性基的一些简单应用
求最大值
具体而言，求一个序列中，若干个数异或和的最大值
首先构造这个序列的线性基，由于\(A\)数组的性质——即\(A[i]_{(2)}\)的最高位必然是1，我们只需要从最高位开始贪心取数即可
for (int i=N;~i;i--) if ((Ans^A[i])>Ans) Ans^=A[i];
求最小值
如果是一个序列异或和最小值，判断是否存在元素不能插入线性基，如果有，则答案为0，否则，答案与线性基内异或和最小值相同，即为最小的\(A[i]\)
求第K小的值
具体而言，求一个序列，若干个数异或和的第K小值
首先对线性基进行处理，对于一个\(A[i]_{(2)}\)，若其第\(j\)位为1，则\(A[i]=A[i]\otimes A[j-1]\)，这样处理后，线性基依旧对应同一个序列，即处理前与处理后的线性基为同一序列的不同线性基，证明略
处理完后，线性基内的元素大致如下（已转成二进制，x表示0或1）
1x0xx0x0
1xx0x0
1x0
1
若\(K_{(2)}\)的第\(x\)位为1，则\(Ans=Ans\otimes A[B_x]\)，记\(A\)数组中非零元素个数为\(n\)，则\(B\)数组满足\(A[B_1]>A[B_2]>...>A[B_n]>0\)
ll k_th(int k){
ll Ans=0;
for (int i=0;i<=N;i++){
if (A[i]){
if (k&1) Ans^=A[i];
k>>=1;
}
}
}
特殊情况请自行处理（如K=0或K=1等）
证明？在更改完线性基后，\(A[B_x]\)的作用为提供其最高位的1，故按\(K_{(2)}\)中1的位置，来对应相应的\(A[B_x]\)，答案即为第K小的（具体过程略）
判断一个数能否被线性基中的数异或得到
构造函数添加返回值即可
删除
咕咕咕，之后填坑
模板题：P3812 【模板】线性基
Description
给定n个整数（数字可能重复），求在这些数中选取任意个，使得他们的异或和最大。
Input
第一行一个数n，表示元素个数
接下来一行n个数
Output
仅一行，表示答案。
Sample Input
2
1 1
Sample Output
1
HINT
\(1\leqslant n\leqslant 50,0\leqslant S_i\leqslant 2^{50}\)
/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
template<typename T>inline T frd(T x){
int f=1; char ch=gc();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
return x*f;
}
template<typename T>inline T read(T x){
int f=1;char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
return x*f;
}
inline void print(int x){
if (x<0) putchar('-'),x=-x;
if (x>9) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
template<typename T>inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T>inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
template<typename T>inline T Swap(T &x,T &y){T t=x; x=y,y=t;}
const int N=50;
ll A[N+10];
void Add(ll x){
for (int i=N;~i;i--){
if (x&(1ll<<i)){
if (A[i]) x^=A[i];
else{
A[i]=x;
break;
}
}
}
}
int main(){
int n=read(0); ll Ans=0;
for (int i=1;i<=n;i++) Add(read(0ll));
for (int i=N;~i;i--) if ((Ans^A[i])>Ans) Ans^=A[i];
printf("%lld\n",Ans);
return 0;
}
