[BZOJ2839]集合计数

Description
一个有N个元素的集合有2N个不同子集(包含空集),现在要在这2N个集合中取出若干集合(至少一个),使得它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007。(是质数喔~)

Input
一行两个整数N,K

Output
一行为答案。

Sample Input
3 2

Sample Output
6

HINT
【样例说明】
假设原集合为{A,B,C}
则满足条件的方案为:{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}
【数据说明】
对于100%的数据,1≤N≤1000000;0≤K≤N;


先选出k个\(\binom{n}{k}\),这下的集合随便选,但是不能有交集

那么交集为\(\emptyset\)=任意选\(-\)交集\(\geqslant 1\)的方案数\(+\)交集\(\geqslant 2\)的方案数\(-\)...

交集\(\geqslant i\)就是选出\(i\)个元素来,剩下的随便选

所以就是\(\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}(2^{2^{n-i}}-1)\),减一是因为不能都不选

组合数直接预处理逆元,\(2^{2^i}\)可以先把\(2^i\)预处理出来,取模用费马小定理——\(a^{p-1}\equiv 1(\%p)\)\(p\)为质数

其实也可以考虑\(2^{2^i}=2^{2^{i-1}}2^{2^{i-1}}\),然后一路平方过来即可

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
	static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int frd(){
	int x=0,f=1; char ch=gc();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())	if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc())	x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline int read(){
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())	if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())	x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline void print(int x){
	if (x<0)	putchar('-'),x=-x;
	if (x>9)	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e6,p=1e9+7;
int fac[N+10],inv[N+10],g[N+10];
void prepare(){
	fac[0]=inv[0]=inv[1]=g[0]=1;
	for (int i=1;i<=N;i++)	g[i]=2ll*g[i-1]%(p-1);
	for (int i=1;i<=N;i++)	fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%p;
	for (int i=2;i<=N;i++)	inv[i]=1ll*(p-p/i)*inv[p%i]%p;
	for (int i=1;i<=N;i++)	inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%p;
}
int C(int n,int m){return 1ll*fac[n]*inv[m]%p*inv[n-m]%p;}
int mlt(int a,int b){
	int res=1;
	for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p)	if (b&1)	res=1ll*res*a%p;
	return res;
}
int main(){
	prepare();
	int n=read(),k=read(),Ans=0; n=n-k;
	for (int i=0;i<=n;i++)	Ans=(Ans+1ll*(i&1?-1:1)*C(n,i)*(mlt(2,g[n-i])-1)%p+p)%p;
	Ans=1ll*Ans*C(n+k,k)%p;
	printf("%d\n",Ans);
}
作者:Wolfycz
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posted @ 2018-11-26 16:20  Wolfycz  阅读(270)  评论(0编辑  收藏  举报