基础数论

1 数论基础

1.1 取模

$(a+b)\mod c=(a\mod c + b\mod c)\mod c$

$(a-b)\mod c=(a\mod c - b\mod c)\mod c$

$(a\times b)\mod c=(a\mod c \times b\mod c)\mod c$

1.2 整除

若存在整数 $c$ 使得 $a\times c =b$，则说 $b$ 是 $a$ 的倍数，$a$ 是 $b$ 的因数，记作 $a\mid b$，若不存该整数则记作 $a\nmid b$。

整除的性质：

$a\mid b\iff\pm a\mid\pm b$.
$a\mid b \and b\mid c \iff a\mid c$。
$a\mid b \and b\mid a \iff \left|a\right|=\left|b\right|$。

1.3 最大公因数

1.3.1 更相减损术

平均时间复杂度为 $O(\log n)$，最坏时间复杂度为 $O(n)$。

虽然通常情况下时间复杂度较高，但是在处理大整数（高精度）时，运行效率可能较高。

int gcd(int a,int b){
    if(a == b){
        return a;
	}
	return gcd(min(a,b),abs(a-b));
}

注意：当 $a$ 和 $b$ 相差过大时，代码的运行速度会非常满，甚至可以卡到 $O(\max(a,b))$ 左右。

1.3.2 辗转相除法

时间复杂度为 $O(\log n)$。

代码简洁，是最常用的 $\gcd$ 算法。

int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

1.3.3 Binary GCD

虽然，该算法的时间复杂度同样也是 $O(\log n)$，但绝大部分情况下，所需的时间要小于辗转相除法。

int gcd(int a,int b){
	int aa = __builtin_ctz(a);
	int bb = __builtin_ctz(b);
	int c = min(aa,bb);
	b >>= bb;
	while(a){
		a >>= aa;
		int t = a-b;
		aa = __builtin_ctz(a-b);
		b = min(a,b);
		a = abs(t);
	}
	return b<<c;
}

1.4 快速幂

int pow(int a,int b,int p){
	int ans = 1;
    while(b){
		if(b&1){
			ans *= a;
            ans %= p;
        }
        a *= a;
        a %= p;
        b >> 1;
    }
    return ans;
}

1.5 互质

若 $\gcd(a,b)=1$，则称 $a$ 与 $b$ 互质。

1.6 质数

1.6.1 相关定义

质数和合数：若 $\forall i\in[2,n-1],i\nmid n$，则称正整数 $n$ 为质数（或素数），否则则称 $n$ 为合数，特别地，$1$ 为合数。
质因数：若 $i\in P\and i\mid n$，则称 $i$ 时 $n$ 的质因数。

1.6.2 判断质数

1.6.2.1 暴力枚举

时间复杂度 $O(\sqrt n)$。

bool is_prime(int n){
	for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i == 0){
            return false;
        }
    }
    return true;
}

1.6.2.2 Millar Robin

$n\in P \implies a^d\equiv1\pmod n \or i\in [0,r),a^{d\times 2^i}\equiv n-1\pmod n$。

bool millar_robin(int n,int a){
    int d = n-1,r=0;
    while(!(d&1)){
        d >>= 1,r++;
	}
    int x = pow(a,d,n);
    if(x == 1){
		return true;
    }
    for(int i=0;i<r;i++){
		if(x = n-1){
			return true;
        }
        x = 1ll*x*x%n;
    }
    return false;
}
int prime[] = {2,3,5,7,13,23,37,73};
bool is_prime(int n){
	if(n < 2){
		return false;
    }
    if(int i=0;i<8;i++){
		int a = prime[i];
        if(!millar_robin(n,a)){
			return false;
        }
    }
    return true;
}

1.6.2.3分解因数

for(int i=2;i*i<=a;i++){
	if(a%i == 0){
		cnt ++;
        prime[cnt] = i;
        while(a%i == 0){
            num[cnt]++;
            a /= i;
        }
    }
}
if(x != 1){
	cnt ++;
    prime[cnt] = x;
    num[cnt] = 1;
}

1.7 约数

1.7.1 性质

约数个数定理：若正整数 $n=\prod_{i=1}^sp_i^{a_i}$，则其约数个数为 $\prod_{i=1}^s(a_i+1)$。
约数和定理：若正整数 $n=\prod_{i=1}^sp_i^{a_i}$，则其约数和为 $\prod_{i=1}^s \sum_{j=0}^{a_i}p_ij $。

1.7.2 线性筛法

1.7.2.1 约数个数

vector<int> prime;
int a[N],d[N];
bool vis[N];
void solve(int n){
	d[1] = 1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			prime.push_back(i);
			a[i] = 1,d[i] = 2;
		}else{
			for(auto j:prime){
				if(i*j > n){
					break;
				}
                vis[i*j] = true;
				if(i%j == 0){
					a[i*j] = a[i] + 1;
					d[i*j] = d[i] / a[i*j] * (a[i*j]+1);
					break;
				}else{
					a[i*j] = 1;
					d[i*j] = d[i] * 2;
				}
			}
		}
	}
}

1.7.2.2 约数和

void solve(int n){
	s[1] = 1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			prime.push_back(i);
			g[i] = s[i] = i+1;
		}else{
			for(auto j:prime[i]){
				if(i * j > n){
					continue;
				}
				vis[i*j] = true;
				if(i % j == 0){
					g[i*j] = g[i]*j+1;
					s[i*j] = s[i]/g[i]*g[i*j];
				}else{
					g[i*j] = j+1;
					s[i*j] = s[i]*g[i*j];
				}
			}
		}
	}
}

1.8 同余类和剩余系

1.8.1 同余类

对非零整数 $m$，把全体整数分成 $|m|$ 个两两不交的集合，且同一个集合中的任意两个数模 $m$ 均同余，我们把这 $|m|$ 个集合均称为模 $m$ 的同余类或剩余类。用 $r\bmod m$ 表示含有整数 $r$ 的模 $m$ 的同余类。

1.8.2 完全剩余系

1.8.3 简化剩余系

2 威尔逊定理

$(p-1)!\equiv \begin {array}{l} \left\{\begin{matrix} -1,p\in P\\ 2,p=4\\ 0,otherwise \end{matrix}\right. \end{array}\pmod p$

3 欧拉函数

3.1 定义

$\varphi(n)$ 表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数。

3.2 性质

欧拉函数是积性函数，即若 $gcd(a,b)=1$ 则 $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$。
若 $p\in\mathbb{P}$ 则 $\varphi(p)=p-1,\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}$。
$\varphi(n)=n\times \prod_{i-1}^s \frac{p_i-1}{p_i} $。

3.3 实现

时间复杂度 $O(\sqrt n)$。

int solve(int n){
	int phi = n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i == 0){
            phi = phi/i*(i-1);
            while(n%i == 0){
                n /= i;
            }
        }
    }
    if(n != 1){
        phi = phi/n*(n-1);
    }
    return phi;
}

求 $[1,n]$ 的欧拉函数，时间复杂度 $O(n)$：

int solve(int n){
	int 
}

3.4 欧拉定理

3.4.1 定义

$gcd(a,m)=1 \implies a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod m$。

3.5 扩展欧拉定理

$a^b= \begin {array}{l} \left\{\begin{matrix} a^b,b<\varphi(m) \\ a^{b\bmod \varphi(m)+\varphi(m)},b\geq\varphi(m) \end{matrix}\right. \end{array}\pmod m$

4 莫比乌斯函数

4.1 定义

$\mu(n) \begin {array}{l} \left\{\begin{matrix} -1,n\in \mathbb{P} \\ 0,\exists a_i>1 \\ (-1)^m,otherwise \end{matrix}\right. \end{array}$

4.2 线性筛法

void solve(int n){
	mu[1] = 1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			prime.push_back(i);
			mu[i] = -1;
		}else{
			for(auto j:prime){
				if(i*j > n){
					break;
				}
				vis[i*j] = true;
				if(i%j){
					mu[i*j] = 0;
					break;
				}else{
					mu[i*j] = -mu[i];
				}
			}
		} 
	}
}

5 逆元

5.1 定义

若 $\exists x,ax\equiv1\pmod b$，则这个正整数 $x$ 称作 $a\mod b$ 的逆元。

5.2 求逆元

5.2.1 费马小定理求逆元

费马小定理：$\forall gcd(a,p)=1\and p\in P,a^{p-1}\equiv1\pmod p,a^p\equiv a\pmod p$。

$\because ax\equiv1\pmod b$

$\therefore ax\equiv a^{b-1}\pmod b$。

$\therefore x\equiv a^{b-2}\mod b$。

注意费马小定理求逆元，只适用于 $b\in P\and gcd(a,b)=1$ 的情况下。

5.2.2 欧拉定理求逆元

$\because ax\equiv1\pmod b$

$\therefore ax\equiv a^{\varphi(b)}\pmod b$。

$\therefore x\equiv a^{\varphi(b)-1}\mod b$。

只适用于 $gcd(a,b)=1$ 的情况。

5.2.3 线性求逆元

inv[1] = 1;
for(int i=2;i<=n;i++){
	inv[i] = (long long)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}

5.2.4 线性求任意两个数的逆元

s[0] = 1;
for(int i=1;i<=n;i++){
	s[i] = (a[i]*s[i-1]) % p;
}
sn[n] = pow(s[n],p-2,p);
for(int i=n-1;i>0;i--){
	sn[i] = (sn[i+1] * a[i+1]) % p;
}

6 扩展欧几里得定理（exgcd）

给定方程 $ax+by=gcd(x,y)$，求任意一组满足条件的 $a,b$。

6.1 代码实现

int exgcd(int a,int b,int %x,int &y){
	if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int xx,yy;
    int g = exgcd(b,a%b,xx,yy);
    x = xx,y = xx-yy*(a/b);
    return g;
}

6.2 裴蜀定理

$\forall x,y,gcd(a,b)\mid ax+by$；
$\exists x,y,ax+by=gcd(a,b)$。

中国剩余定理（CRT）

定义

中国剩余定理可用于求如下形式的一元线性同余方程。

\[\left\{ \begin{array}{**lr**} x\equiv r_1\pmod{m_1}, & \\ x\equiv r_2\pmod{m_2}, & \\ \quad\quad\quad\quad\vdots&\\ x\equiv r_k\pmod{m_k}, & \\ \end{array} \right. \]

其中 $gcd(m_1,m_2,\dots,m_k) =1$。

求解

设 $M=\prod m_i$。
计算第 $i$ 个方程的解 $c_i=\frac{M}{m_i}$。
计算 $c^{-1}\pmod M$。
$x=\sum^n_{i=1} r_i,c_i,c_i^{-1}\pmod M$。

大步小步算法（BSGS）

定义

大步小步算法（baby-step giant-step，BSGS）通常用于求解 $a^x\equiv b\pmod p,gcd(a,p) = 1$ 的问题。

时间复杂度 $O(\sqrt{p})$。

分析

令 $x=i\times m-j$，其中 $m=\lceil p\rceil,i\in [1,m],j\in[0,m-1]$，则 $a^{i\times m-j}\equiv b\pmod p$，即 $(a^m)^i\equiv b\times a^j\pmod p$。

所以，求出所有的 $(a^{m})^i$ 和 $b\times a^j$ 即可。

实现

ll p, a, b;
scanf("%lld%lld%lld", &p, &a, &b);
ll m = ceil(sqrt(p));
ll t = b % p;
hash_table[t] = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
    t = (ll) t * a % p;
    hash_table[t] = i;
}
t = pow_mod(a, m, p);
ll now = 1;
for (int i = 0; i <= m; i++) {
    if (hash_table.count(now)) {
    	printf("%lld\n", i * m - hash_table[now]);
        return 0;
    }
    now = (ll) now * t % p;
}
printf("no solution\n");

组合数学

排列组合

加法原理和乘法原理

完成一件事有 $N$ 类方法，每类方法有 $a_i$ 种方法，那么一共有 $\sum a_i$ 种选法。

完成一件事有 $N$ 个步骤，每个步骤有 $a_i$ 种方法，那么一共有 $\prod a_i$ 种选法。

排列组合基础

排列

从 $n$ 个元素选 $m$ 个元素，按一定的顺序排列。

$P^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}$。

组合

从 $n$ 个元素选 $m$ 个元素，不考虑顺序。

$C^m_n=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{p^m_n}{m!}$。

$C_n^m=C_n^{n-m}$。

$\sum_{i=0}^n C_n^m=2^n$。

二项式定理

$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n C_n^ia^{n-i}b_i$。

卢卡斯定理

$C_n^m \mod p=C_{\lfloor n\div p\rfloor}^{\lfloor m\div p\rfloor}\times C_{n\mod p}^{m_\mod p}\mod p,p\in P$。

代码实现如下：

int c(int n,int m,int p){
	if(m > n){
		return 0;
	}else{
		return (ll)f[n]*g[m]*g[n-m]%p;
	}
}
int lucas(int n,int m,int p){
	if(m == 0){
		return 1;
	}
	return (ll)lucas(n/p,m/p,p) * c(n%p,m%p,p) %p;
}

lucas 函数递归的边界为 $m=0$。

注意，要特判 $m>n$ 的情况。

恒等式

$C^{m}_{n+1} = C^m_n\times\frac{n+1}{n-m+1}$。
$\sum^n_1 C^i_n = 2^n$。
$\sum^1_mC^i_n = C_{n+1}^{m+1}$。

高斯 (Gauss) 消元法

定义

用于求解线性方程：

\[\left\{ \begin{array}{**lr**} a_{11}x_1 + a_{12}x_2+\dots a_{1n}x_n=b_1 & \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2+\dots a_{2n}x_n=b_2 \\ \quad\quad\quad\quad\vdots&\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2+\dots a_{nn}x_n=b_n& \\ \end{array} \right. \]

步骤

一、将系数矩阵消为上三角矩阵

枚举主元，找到主元下面系数不是 $0$ 的一行；
交换两行，把这一行与主元交换；
将该行同乘一个数，使主元的系数变为 $1$；
把该行的若干被加到其他行，使主元下面的系数变为 $0$ ；

二、逐个带入求解

此时，我们发现，$a_n$ 已经知道了，我们将 $a_n$ 的值带入其他的方程求解即可。

三、无解和无数解的判断

在带入求解完成后，若：

$\exist i\in[1,n],\forall j\in[1,n],a_{i,j}=0,a_{i,n+1}\neq0$，则方程无解；
在方程有解的前提下 $\exist i\in[1,n],\forall j\in[1,n+1],a_{i,j}=0$ 则方程有无数解。

实现

时间复杂度 $O(n^3)$。

double a[N][N];
const double eps = 1e-6; 
bool gauss(int n){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int j;
		for(j=i;j<=n;j++){
			if(fabs(a[j][i]) > eps){
				break;
			}
		}
		swap(a[i],a[j]);
		if(fabs(a[i][i]) < eps){
			return 0;
		}
		for(j = n+1;j>=i;j--){
			a[i][j] /= a[i][i];
		}
		for(j = i+1;j<=n;j++){
			for(int k=n+1;k>=i;k--){
				a[j][k] -= a[j][i] * a[i][k];
			}
		}
	}
	for(int i=n-1;i>=1;i--){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			a[i][n+1] -= a[i][j] * a[j][n+1];
		}
	}
	return 1;
}

例题

Luogu-P2455

本题重点考察无解和无穷解的判断。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e2+5;
double a[N][N];
const double eps = 1e-6; 
bool gauss(int n){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int j;
		for(j=i;j<=n;j++){
			if(fabs(a[j][i]) > eps){
				break;
			}
		}
		j = min(j,n);
		swap(a[i],a[j]);
		if(fabs(a[i][i]) < eps){
			continue;
		}
		for(j = n+1;j>=i;j--){
			a[i][j] /= a[i][i];
		}
		for(j = i+1;j<=n;j++){
			for(int k = n+1;k>=i;k--){
				a[j][k] -= a[i][k] * a[j][i];
			}
		}
	}
	bool flag = true;
	bool fflag = false;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			a[i][n+1] -= a[j][n+1] * a[i][j];
			a[i][j] = 0;
		}
		bool flag = true;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(fabs(a[i][j]) > eps){
				flag = false;
			}
		}
		if(flag == true && fabs(a[i][n+1]) > eps){
			puts("-1");
			return 0;
		}else if(flag == true){
			fflag = true;
		}
	}
	if(fflag == true){
		puts("0");
		return 0;
	}else{
		return 1;
	}
}
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n+1;j++){
			scanf("%lf",&a[i][j]);
		}
	}
	if(gauss(n)){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			printf("x%d=%.2f\n",i,a[i][n+1]);
		}
	}
}

ACwing-208

高斯消元解异或方程组。

高斯消元模板为 $O(n^3)$ 可以通过状态压缩变为 $O(\frac{n^3}{w})$，对于本题而言，可以优化到 $O(n^2)$。

注意位运算的优先级问题！

矩阵

struct node{
	int n,m;
    int z[105][105];
};

设矩阵 $a$ 为 $n$ 行 $m$ 列。

设矩阵 $b$ 为 $x$ 行 $y$ 列。

单位矩阵和数量矩阵

对于 $n\times n$ 的矩阵 $E$，若 $\forall i\in\left[1,n\right],E_{i,i}=1 \and \forall i,j\in \left[1,n\right],i\neq j,E_{i,j}=0$，则该矩阵 $E$ 为单位矩阵。

矩阵 $kE$ 为数量矩阵。

单位矩阵的性质

$AE=A,EA=A$。

矩阵的数乘

$ans_{i,j}=a_{i,j}*k$。

矩阵加减法

当且仅当 $n=x\and m=y$ 时，两个矩阵可以相加减。

$ans_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}$。

$ans_{i,j}=a_{i,j}-b_{i,j}$。

矩阵乘法

当且仅当 $m=x$ 时，两个矩阵可以相乘。

$ans_{i,j}=\sum a_{i,k}+b_{k,j}$。

矩阵乘法的性质

结合律，即 $A(BC)=(AB)C$。
左右分配律，即 $A(B+C)=AB+AB,(B+C)A=BA+CA$。
对数乘的结合性，即 $\lambda(AB)=A(\lambda B)$。
矩阵满足结合律，当且仅当其中一个矩阵相对于另一个矩阵为单位矩阵、数量矩阵或伴随矩阵。 $AB=BA \iff B=kE\or B=A^*$。

代码实现

matrix operator*(const matrix &m1,const matrix &m2){
    m3.n = m1.n;
    m3.m = m2.m;
    for(int i=1;i<=m3.n;i++){
    	for(int j=1;j<=m3.m;i++){
			for(int k=1;k<=m1.m;k++){
				m3.z[i][j] += m1.z[i][k]*,m2[k][j];
            }
        }    
	}
}

由于内存缓存机制，通常情况下，以 ikj 的顺序枚举的速度相对最快。

应用

斐波那契数列

递推公式

递推式一 O(n)：f_n=f_{n-1}+f_{n-2}。

递推式二 O(\log n)f_{2i+1}=f^2_{i+1}+f2_{i}。

矩阵乘法

\begin{bmatrix} f_{i-1} & f_{i-2} \ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1 & 1 \1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_{i} & f_{i-1} \ \end{bmatrix}

矩阵乘法可以配合快速幂使用，时间复杂度为 O(\log n)。

推广

若递推式变为 f_n=f_{n-1}+f_{n-3}。

则矩阵乘法变为：

\begin{bmatrix} f_{i-1} & f_{i-2}&f_{i-3} \ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1 & 1 &0 \0&0&1\1&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_{i} & f_{i-1}&f_{i-2} \ \end{bmatrix}

posted @ 2023-12-06 20:00 WhileTureRP++ 阅读(21) 评论(1) 收藏举报

刷新页面返回顶部

WhileTrueRP

基础数论

1 数论基础

1.1 取模

1.2 整除

1.3 最大公因数

1.3.1 更相减损术

1.3.2 辗转相除法

1.3.3 Binary GCD

1.4 快速幂

1.5 互质

1.6 质数

1.6.1 相关定义

1.6.2 判断质数

1.6.2.1 暴力枚举

1.6.2.2 Millar Robin

1.6.2.3分解因数

1.7 约数

1.7.1 性质

1.7.2 线性筛法

1.7.2.1 约数个数

1.7.2.2 约数和

1.8 同余类和剩余系

1.8.1 同余类

1.8.2 完全剩余系

1.8.3 简化剩余系

2 威尔逊定理

3 欧拉函数

3.1 定义

3.2 性质

3.3 实现

3.4 欧拉定理

3.4.1 定义

3.5 扩展欧拉定理

4 莫比乌斯函数

4.1 定义

4.2 线性筛法

5 逆元

5.1 定义

5.2 求逆元

5.2.1 费马小定理求逆元

5.2.2 欧拉定理求逆元

5.2.3 线性求逆元

5.2.4 线性求任意两个数的逆元

6 扩展欧几里得定理（exgcd）

6.1 代码实现

6.2 裴蜀定理

中国剩余定理（CRT）

定义

求解

大步小步算法 （BSGS）

定义

分析

实现

组合数学

排列组合

加法原理和乘法原理

排列组合基础

排列

组合

二项式定理

卢卡斯定理

恒等式

高斯 (Gauss) 消元法

定义

步骤

一、将系数矩阵消为上三角矩阵

二、逐个带入求解

三、无解和无数解的判断

实现

例题

Luogu-P2455

ACwing-208

矩阵

单位矩阵和数量矩阵

单位矩阵的性质

矩阵的数乘

矩阵加减法

矩阵乘法

矩阵乘法的性质

大步小步算法（BSGS）