动态规划题单做题日志

p.s. 今天观察队友发现 , 队友在比赛的时候可以长时间保持有发散性的思考 , 这点应该注意 !

1. 序列动态规划

   不考虑容斥的做法 , 从暴力起手 .

   设 \(dp_{i,j,0/1}\) , 代表进行到第 \(i\) 位 , 这个位置的值是 \(0/1\) , 上一个与之不同的位置在 \(j\) 的方案数 .

   朴素的进行转移 , 用双指针将非法的区间归零即可 .

   目前的时间复杂度是 \(O(k^2)\) 的 , 套路地考虑离散化 .

   先抛去细节 , 考虑状态的变化 , 设 \(dp_{i,j,0/1}\) 代表进行到第 \(i\) 个关键点 , 上一个与之不同的位置在 \(lsh_{j-1}+1,lsh_{j}\) . 其中 \(lsh\) 是离散化映射数组 .

   特别的 , \(dp_{i,i,0/1}\) 则代表在 \(lsh_{i-1}+1,lsh_{i}-1\) 不同.

   这样的话直接转移就可以做到 \(O((n+m)^2)\) .

   最重要的是如何选取关键点 , 才能在删除非法区间时保留信息 .

   首先 \(0,k\) 是肯定要放的 .

   考虑删除的过程 , 删除 \(j<l\) 的所有状态 , 但是考虑到 \(lsh_{j-1}+1,lsh_{j}\) 这里的设计 , 存在一种情况 ,不同的是 \(j\) 之前的数而不是 \(j\) 本身 , 所以 \(lsh_j -1\) 也应该加入关键点 , 参与离散化 .

   现在最不熟悉的工作已经完成了 . 考虑优化 .

   先把动态规划方程搬上来 ,

   dp[0][i + 1][j] = A(dp[0][i + 1][j], dp[0][i][j]);
   dp[1][i + 1][j] = A(dp[1][i + 1][j], dp[1][i][j]);
   dp[0][i + 1][i] = A(dp[0][i + 1][i], dp[1][i][j]);
   dp[1][i + 1][i] = A(dp[1][i + 1][i], dp[0][i][j]);
   dp[0][i + 1][i + 1] = A(dp[0][i + 1][i + 1], M(A(P(2, Num[i + 1] - Num[i] - 1), S(1ll)), dp[0][i][j]));
   dp[0][i + 1][i + 1] = A(dp[0][i + 1][i + 1], M(A(P(2, Num[i + 1] - Num[i] - 1), S(1ll)), dp[1][i][j]));
   dp[1][i + 1][i + 1] = A(dp[1][i + 1][i + 1], M(A(P(2, Num[i + 1] - Num[i] - 1), S(1ll)), dp[0][i][j]));
   dp[1][i + 1][i + 1] = A(dp[1][i + 1][i + 1], M(A(P(2, Num[i + 1] - Num[i] - 1), S(1ll)), dp[1][i][j]));
   

   其实不难发现后六条都是一个全局和就可以搞定的事 .

2. Dp套Dp

   这道题是 Dp套Dp 的入门题目 , 首先是自动机惯常套路 设 \(dp_{i,j}\) 为第 \(i\) 个阶段 , 在自动机第 \(j\) 个节点的方案数 . 问题是怎么设计这个自动机.

   套的那一层 \(Dp\) 就是自动机 , 令求 \(LCS\) 的 \(Dp\) 数组本身的差异性作为自动机的节点 , 用 \(Hash\) 代表节点 .

   暴力转移即可 .

3. Dp套Dp

   最重要的点在于如何分类讨论降低状态数 , 而且必须得套路化使用爆搜确定原 dp 数组状态数 .

   并且一个局面可能有多重选择 , 如果 g_j,k 中的任何一个数不同都是新的状态 , 即 数组本身的差异性作为自动机的节点 ; 是 dp 套 dp 的关键 .

4. 区间动态规划

   首先是要读懂题面 , 然后考虑区间动态规划 .

   考虑哪些中间状态是有效的 , 比如说整个序列都被一对括号包围 , 他就可能从 **(),()**(),()** 转移

   考虑如何不算重 , 经典的套路是保持最后一段的特殊性 , 比如说最后一段的转移必须是 ***** , (.....) . 还算基础

5. 树形背包

   设 dp[i][j] 为 在子树 i 中建立了 j 个伐木场 , 子树内贡献最少的值 .

   发现不好计算 , 于是维护多一维信息 , 代表离 i 最近的祖先 . 转移就是两个数组 , 是否在 i 这个节点放置伐木场 .

6. 树形动态规划

   即使是路径问题 , 也可以拆分成各个小贡献用动态规划解决 .

   注意到简单路径只会走一次 , 不在简单路径上一定会走两次 , 设计状态分摊贡献 . 不妨以 \(1\) 为根 .

   首先路径的端点肯定会走子树 , 路径上的点走与路径不交的子树 , 分别设计数组 .

   所以有 \(f_i:\) 从 \(i\) 出发走子树回到 \(i\) 的最大值 , \(g_i:\) 从 \(i\) 的父节点出发不经过 \(i\) 的最大值 .

   现在 \(lca\) 处的贡献较难统计 , 考虑换根动态规划之后通过减贡献求出答案 ;

   \(h_i:\) 从 \(i\) 出发往任意方向走的最大值 , 分类讨论 \(u,v\) 的祖先关系即可 .

7. 高斯消元

   从每个点的期望次数求每个边的期望次数 .