链剖分简记
同步于 cnblog。
大概是去年过年接触树剖的吧，写一写见到过的一些东西。
重链剖分
考虑一种划分树形式，我们将一棵树划分为许多条链，每个点链上的后继称为重儿子，是这个点子树最大的儿子，反之其余所有儿子称为轻儿子，连接的边称为轻边。
这样做就能够带来许多性质，比如从一个叶子向上走最多只会走至多 \(O(\log n)\) 条轻边，因为发现只能被完全二叉树卡满，而此时深度为 \(O(\log n)\)。
LCA
应用上述性质，我们就可以完成求 \(LCA\) 的操作，且时空常数较小，具体来讲，在 \(x,y\) 两点处于相同链时，取深度较小者即为答案，反之选链深度较大者向上跳一跳链即可。
一部分代码实现，树剖预处理及 \(LCA\) 操作。
inline void dfs1(ll x,ll father,ll depth){
dep[x]=depth,fa[x]=father,siz[x]=1;ll zson=-1;
for(ll y:g[x]){
if(y==fa[x]) continue;
dfs1(y,x,depth+1);siz[x]+=siz[y];
if(siz[y]>zson) zson=siz[y],son[x]=y;
}
}
inline void dfs2(ll x,ll nowtop){
top[x]=nowtop,id[x]=++cnt,w[cnt]=x;
if(!son[x]) return rb[x]=cnt,void();
dfs2(son[x],nowtop);
for(ll y:g[x]){
if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
dfs2(y,y);
}
rb[x]=cnt;
}
inline ll LCA(ll x,ll y){
while(top[x]!=top[y]){
if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
x=fa[top[x]];
}
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
return y;
}
再进一步的，如果已知 \(x\) 及其祖先 \(y\)，如何找到 \(y\) 的儿子 \(z\)，同时也是 \(x\) 的祖先。
很简单，由于 \(x\) 跳链时可能直接跳到 \(y\) 上，因此记录 \(lst\) 表示 \(x\) 上一个经过的链头，如果直接跳到 \(y\) 了，返回 \(lst\) 即可，否则返回 \(y\) 的后继。
inline ll LCApre(ll x,ll y)
{
ll lst=x;
while(top[x]^top[y]) dep[top[x]]<dep[top[y]]?(lst=top[y],y=fa[top[y]]):(lst=top[x],x=fa[top[x]]);
return x==y?lst:w[id[y]+1];
}
树剖 + ds
一棵树，支持链加，子树加，链查，子树查。
以本题为例，如果把这几个操作放到序列上，那线段树直接搞就好了，但这是在树上，点的标号并不连续。
因此，我们考虑树剖，将一棵树划分的若干条重链，并把每一条重链的点重编号为连续的，就可以对拆分出来的区间直接使用线段树了。
由之前提到的性质，我们最多只会操作 \(\log n\) 个区间，因此复杂度是 \(O(n \log^2 n)\)。
链上有序信息合并
例题 P10773 [NOISG 2021 Qualification] Truck，GSS7 等。
一些信息可以直接在数据结构上维护的，但是在合并时区分正反方向，因此我们需要同时记录向左向右走的两个答案，在合并链答案的时候也要注意合并顺序。
例题的合并代码，可以当做一个参考：
inline ll ask_chain(ll x,ll y)
{
SGT ans1={0,0,0,0,0,0},ans2={0,0,0,0,0,0};ll fl=0;
while(top[x]^top[y])
{
if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y),swap(ans1,ans2),fl^=1;
merge(ans1,ask(1,id[top[x]],id[x]),ans1);
x=fa[top[x]];
}
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y),swap(ans1,ans2),fl^=1;
merge(ans1,ask(1,id[y]+1,id[x]),ans1);
if(fl) swap(x,y),swap(ans1,ans2);
ll ans=0;ad(ans,ans1.val2,ans2.val1,ans1.sumt*ans2.sumd%mod,G*(ans1.sumd+ans2.sumd)%mod);return ans;
}
均摊路径答案
对于类似求 \(dep\)，\(dis\) 的东西，总是会习惯性的认为拆式子，前缀和改式子后维护数据结构，但往往这样的统法在某些题并不奏效。
考虑例题，我们发现，对于求 \(dep\)，可以将其改为 \(lca\) 到根的路径权值和，因此，可以将问题改为为路径加，路径查询的 ds 问题，树剖扫描线直接做就好了。
边权转点权
小 trick，发现有些题是询问边权的，但我们并不好处理边的询问，因此，我们将边权下放，转化为点权来做。
但相应的，在链改时最后跳到相同链的修改需要特别处理 \(lca\) 的问题。
示例代码：
inline ll upd(ll x,ll y,ll k)
{
while(top[x]^top[y])
{
if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
modify(id[top[x]],id[x],k);
x=fa[top[x]];
}
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
modify(id[y]+1,id[x],k);
}
链上二分
最典的东西就是求 \(k\) 级祖先，复杂度为 \(O(n\log n)\)，理论上劣于长剖。
由于链编号连续，所以只需要找到答案可能所在的链，然后在链上二分寻找答案即可，细节较多，单调性容易分析错误。
树剖换根
例题 P3979 遥远的国度。
由于树剖信息是预处理的，所以不好支持更换根的操作。
在例题中，链修改操作与根无关，而子树查询操作可以通过讨论新根与查询点的关系完成。
具体来讲，令新根为 \(t\)，查询点为 \(x\)，原根子树下的编号为 \([l,r]\)，则：
- \(t\) 是 \(x\) 的祖先，查询区间仍是 \([l,r]\)。
- \(t\) 是 \(x\)，则查询 \([1,n]\)。
- \(t\) 是 \(x\) 的孩子，查询 \([1,l) \cup (r,n]\)。
ddp
一棵树，支持单点修改，查询最大独立集。
静态的 dp 转移方程是简单的，考虑单点修改只会带来链的修改，由于每个点经过轻边只有 \(\log n\) 条，所以我们对每一个点分别记录只选重儿子和可选轻儿子的答案，用 ds 维护每个链的矩阵，每次只需要对链尾做修改，其余转移是固定的，因此每次只会修改 \(O(\log n)\) 条链，复杂度 \(O(n \log^2 n)\)，用全局平衡二叉树可以做到 \(O(n \log n)\)。
其中只维护重儿子使得修改次数降低的 trick 是经典的。
离线图转树
我们暂时不会 LCT，因此不会动态维护某些东西，但是我们可以正难则反。
考虑建出最后的图，并把其转化一棵树，将多余边转化为树上路径修改，然后就变成简单路径查询了。
图上多余边转化为链改
跟上一个挺像的，例题 P4180 [BJWC2010] 严格次小生成树。
考虑先建出 MST，然后尝试加入新边，其实就是比较边权与路径权值，就能直接求出答案了，可以看做是将多余边转化为树上路径修改查询的 trick。
长链剖分
树上 \(k\) 级祖先
在重剖中，我们是有 \(O(n) - O(\log n)\) 查询 \(k\) 级祖先的办法的，但这在 \(n,q\) 不同阶时还是会很慢，那么我们考虑一种更快的做法。
朴素的重剖或许可以通过分块等技巧进一步优化，但复杂度仍然不优，我们从定义重新下手。
我们将重儿子的定义改为 子树深度最大 的儿子，或者说称其为 长儿子，然后我们再预处理树上倍增，就能发现一个性质。
对于任意一个点的 \(k\) 级祖先，其所在长链的长度 \(\geq k\)，证明很简单，因为最坏情况其祖先的长链也是延伸至这个点的。考虑有了这个性质，我们只需要对每一条长链链头记录向上向下 \(len\) 级祖先或儿子，就可以做到每次 \(O(1)\) 查询 \(k\) 级祖先了，所以这样做复杂度是 \(O(n\log n) - O(1)\) 的，当然也有更优秀的 \(O(n) - O(1)\) 的高科技做法。
优化 dp
鸽鸽鸽鸽
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