一些 CF 题

再开一坑！以后慢慢填吧。

感觉以后写题要加上题意简述了，不然往前看真的记不起题面。

CF2062D

给定一棵树，每个点有取值范围 \([l_i,r_i]\)，每个点可以在范围内随意取值，进行任意次操作，每次操作选定 \(u,v\)，表示以 \(u\) 为根，\(v\) 所在的子树内的节点全部 \(+1\)，求通过操作使全树变成的最小统一权值。

\(n\leq 2\times 10^5\)，\(0 \leq l_i \leq r_i \leq 10^9\)

*2200，div1+2的 D 题，第一眼看上去很不可做，又是换根子树加，又是全局统一的。

来分析一下性质，换根子树加一显然可以做转化，钦定 \(1\) 为根，当选定的 \(u\) 不在 \(v\) 的子树内时，操作等价于子树 \(+1\)，当 \(u\) 在 \(v\) 的子树内，相当于全局 \(+1\)，\(u\) 所在子树 \(-1\)，这样操作就转化成了子树的任意权值变化，我们令 \(f_i\) 表示以 \(i\) 为根的子树内变成的最小统一权值，这个东西都不用 dp，直接贪心即可，记 \(mx = \max_{v \in son_u} f_v\)，则当 \(mx \leq r_u\) 时，我们需要进行子树加法操作，但因为对答案没有影响，所以不用记录，直接令 \(f_u \gets \max (l_u,mx)\)，当 \(mx > r_u\) 时，我们需要子树减操作，而他夹带着全局加法，所以我们需要记录这个操作的个数，又因为要令操作次数最小，统计 \(\sum_{v\in son_u} \max(0,f_v - r_u)\)，最后令 \(f_u \gets mx\) 即可，我们用 \(ans\) 记录全局加法的个数，则最后的答案为 \(f_1 + ans\)。

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CF817F

最近手感好烂，一直在调题。

给定一个有 \(n\) 个点 \(n-1\) 条线段组成的序列，维护两个操作：

1. 选定两个点，对两点之间的线段区间加上 \(d\)。
2. 给定一个区间，从区间中等概率取两不相等点，求两点之间所有权值和的期望。

*2300，一开始想了个区间加维护前缀和的唐氏做法，真是无敌，没想到式子这么简单。

考虑一个元素被选中的次数，总方案有 \(\frac{n(n-1)}{2}\)，此处 \(n\) 为查询区间长度，下文同理。我们只把点转成线段，只看线段覆盖次数，也就是 \((i-l+1)(r-i+1)\)，\(l,r\) 为缩减之后的。那么这一个点的期望贡献为 \(\frac{a_i(i-l+1)(r-i+1)}{\frac{n(n-1)}{2}}\)，硬拆式子，整理得到，原式等价于求 \(-(\sum a_i i^2) + (r-l+1-lr)(\sum a_i) + (l+r)(\sum a_i i)\)。

结论明显，用线段树分别维护 \(\sum a_i\)，\(\sum a_i i\)，\(\sum a_i i^2\) 即可，第一个是普通区间加法，第二个第三个事先在线段树中维护出 \(\sum i\) 和 \(\sum i^2\) 即可，加法时直接乘就好了，复杂度 \(O(n\log n)\)。

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