高斯消元

求解线性齐次方程组。

先给一个线性方程组：

\( \begin{Bmatrix} a_{1,1}x_1 + a_{2,1}x_2 + a_{3,1}x_3 + ... = b_1 & \\ a_{1,2}x_1 + a_{2,2}x_2 + a_{3,2}x_3 + ... = b_2 & \\ a_{1,3}x_1 + a_{2,3}x_2 + a_{3,3}x_3 + ... = b_3 & \end{Bmatrix} \)

他的增广矩阵就是未知数系数和 \(b_i\) 值所写作的矩阵：

\( \left \{ \begin{matrix} a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & .. & | & b_1 & \\ a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & .. & | & b_2 & \\ a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & .. & | & b_3 & \end{matrix}\right. \)

我们对于增广矩阵有几个变换形式（初等行变换）：

1. 交换两行
2. 把某一行乘一个非零数 \(k\)
3. 把某一行的 \(k\) 倍加到某行

对于方程组的解，我们有：如果一个方程组有至少两个解，那么他一定有无数解。感性理解是简单的，证明也不难。

之后我们考虑解这个方程组，也是有两种方法的：

两种方法的初始形式一样，高斯消元法的结果矩阵是：

\( \left \{\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1 & | & b_1 & \\ 0 & 1 & 1 & ... & 1 &| & b_2 & \\ ...& \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 &| & b_3 & \end{matrix} \right. \)

高斯约旦-约旦消元法：

\( \left \{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & ... & 0 & | & b_1 & \\ 0 & 1 & 0 & ... & 0 &| & b_2 & \\ ...& \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 &| & b_3 & \end{matrix} \right. \)

现在说高斯消元法的具体步骤：

1. 检查 \(a_{1,1}\) 是否为 \(0\)，如果不是，记 \(r_i\) 表示第 \(i\) 行的方程式，我们令 \(r_i = r_i + r_1 \times k_i\)，使得 \(a_{i,1}\) 变为 \(0\)，等同于加减消元的过程，之后每一列都可以同理做。否则，如果 \(a_{1,1}\) 是 \(0\)，再找另一行，再与 \(r_1\) 交换，同上继续做，假设还是找不到，那他就具有无数解。

2. 我们可以通过步骤 1 检索所有列，将他变成同上方一的矩阵就可以顺序求解未知数了。

3. 对于无解和无穷解的情况：

   • 当有一行的未知数系数为 \(0\)，且 \(b_i\) 不为 \(0\) 的时候，那么方程组无解，我们也可以看做阶梯的直角拐角发生在最后一个点，那么这个方程组无解，其他方式均有解。
   • 当方程数量少于主元数量时，显然是无穷解的，或者说，当出现类似“延长阶梯”的时候，方程同样无数解

到这里还有一步，我们要将这个矩阵变为简化阶梯形矩阵：

我们称一个简化阶梯形矩阵满足：

1. 他是一个阶梯形矩阵
2. 非零行首元素均为 1
3. 首元素所在列其他元素均为 0

\( \begin{matrix} 2&1&-1&1&1 &\\ 0&-3.5&3.5&-4.5&0.5&\\ 0&-1.5&1.5&-0.5&-3.5&\\ 0&-2&2&-4&3& \end{matrix} \)