算法第3章上机实践报告

1.实践题目

数字三角形 

2.问题描述

给定一个由 n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形 的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

3.算法描述

a.建立一个与输入二维数组等大的中间二维数组；

b.将二维数组代表的数组金字塔的底层输入到中间二维数组中；

c.从中间二维数组底层开始每高一层的数等于底层斜下两个中较大的数加上本层的原数字金字塔的数字，即：b[i-1][j] = b[i][j] + a[i-1][j]或b[i-1][j] = b[i][j+1] + a[i-1][j]。

d.堆叠至数字金字塔的顶端即使所求的最大路径数字总和。

该算法是从底层开始选择更多大的数开始往上做叠加，直接存储叠加的结果，这样就避免在进行逐个路线穷举时重复的浪费。

4.算法时间及空间复杂度分析（要有分析过程）

算法的时间复杂度：

for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
　　for (int j = 0; j < i ; j++) {
　　　　if (b[i][j] > b[i][j+1]) {
　　　　　　b[i-1][j] = b[i][j] + a[i-1][j];
　　　　}
　　　　else {
　　　　　　b[i-1][j] = b[i][j+1] + a[i-1][j];
　　　　}
　　}

}

主要算法的运算次数为n^2次，所以时间复杂度为O(n^2).

算法的空间复杂度：

在运算过程中除了原输入的二维数组，还有一个中间的二维数组，所以空间复杂度为O(n^2).。

5.心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）

在课堂听动态规划还不是特别理解的时候通过实践得到了更好的理解，刚开始是使用递归来解决问题，但是后面发现这个问题可以使用这种更为简单的方法来进行解题。动态规划作为分解具有大量重复的算法问题时具有十分显著的效果。