北航数学分析（2）期中复习小结（个人整理，定期更新）

期中总结

复习大纲

• 无穷级数（性质、收敛性、正项级数、一般项级数、函数列与函数项级数、一致收敛性、幂级数、泰勒级数、和函数、傅里叶级数）
• 多元空间（\(Euclid\)空间、多元函数、连续性、积分学、微分学）

知识点细分

数项级数

• 收敛性判断

  • 有限项和数列\(\{S_n\}\)判断法

  • 柯西收敛准则：

  • 正项级数敛散性：

    1. \(Cauchy\)根值判别法
    2. 比值判别法
    3. \(d'Alembert\)判别法
    4. 积分判别法
    5. \(Raabe\)判别法与\(Bertrand\)判别法

  • 普适性理论

    1. 绝对比较判别法
    2. \(Leibniz\)判别法
    3. \(Dirichlet\)判别法
    4. \(Abel\)判别法

• 级数更序问题

  \(Riemann\)更序定理

• 级数乘法

函数列与函数项级数

• 收敛域

• 逐点收敛性

• 一致收敛性

  • 概念：

  • \(\beta_n\)充要条件

  • 柯西收敛准则

    推论：对于一函数项级数，其一致收敛的必要条件是函数列\(\{u_n\}\)在区间\(I\)上一致收敛到函数\(u_n\equiv0\)

  • 判别方法

    1. \(Weierstrass\)判别法（\(M-\)判别法）
    2. \(Dirichlet\)判别法
    3. \(Abel\)判别法

• 一致收敛函数列与函数项级数相关性质

  • 内闭一致收敛
  • 连续性、\(Dini\)定理
  • 可积性
  • 可导性

幂级数

• \(Abel\)定理

• 收敛半径

  • \(Cauchy-Hadamard\)公式
  • \(d'Alembert\)公式

  本质上上述公式是\(Cauchy\)根值判别法与\(d'Alembert\)判别法的衍生物

• 性质

  • 连续性（一致收敛性）
  • 可积性
  • 可导性

• \(Taylor\)级数与\(Maclaurin\)级数

  • 基本公式

• 和函数

Fourier级数

• 三角函数正定性
• \(Fourier\)系数
  • 基本公式
• \(2\pi\)周期的展开式
  • 基本公式
• \(2l\)周期的展开式
  • 基本公式
• 逐点收敛性
• 复数表达形式