北航数学分析（1）期末复习小结（个人整理，仅供参考！）

数分（1）期末总结

复习大纲

• 积分学（不定积分、定积分、广义积分、瑕积分、积分学应用）
• 微分学（常微分方程、一阶微分方程、二阶微分方程）

知识点细分

不定积分

• 不定积分的初等公式（只列难点函数）

  \(\int sec^2dx=\tan{x}+c \space \space \int csc^2xdx=-\cot{x}+c\)

  \(\int \sec{x}\tan{x}dx=\sec{x}+c \space \space \int \csc{x} \cot{x}dx=-\csc{x}+c\)

  \(\int \sec{x}dx=\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}+c \space \space \int \csc{x}dx=\ln{|\csc{x}-\cot{x}|}+c\)

  \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln{|x+\sqrt{x^2-a^2}|}+c\)

  \(\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln{|\frac{x-a}{x+a}|}+c\)

  注三倍角公式：

  \(\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\) \(\cos{3\alpha}=-3\cos{\alpha}+4\cos^3{\alpha}\)

• 基本思想

  换元积分

  分部积分（有时出现三角函数可以尝试造循环；对于\(\arctan{x}\)与\(\ln{x}\)可以尝试使用该法变成\(x\)形式）

  倒带法（可用于高阶分母分式）

  最小公倍法（可用于出现不同开方的情况）

  有理函数化简法（一般用于上下出现x的分式，将其降阶拆开成不同的分式和）

  三角有理式（三角万能公式）

  无理函数化简（直接替换上下同阶的根号分式为一变量）

定积分

• 相关名词（最基础的）：分割\(\pi:||T||\)、达布定理（达布上/下和）、可积性、莱布尼兹公式

• 积分性质：保序性（夹逼定理）、线性性质、保号性

• 若函数\(f\)在\([a,b]\)上可积，则\(f\)在\([a,b]\)上一定有界（必要条件）（证明思路：\(|\sum f(\xi_i)\Delta x_i-I|<1\)）

• 若函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则对于任一分割\(T\)，当\(||T||\rightarrow0\)时，达布上和与达布下和的极限一致，即上下积分一致（充要条件，达布定理）

  衍生定理：

  若函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(\forall\varepsilon>0\)，\(\exists\delta>0\)，\(s.t.\)只要分割\(T\)满足\(||T||<\delta\)，都有：（\(\omega_i\)是小区间上的振幅）

  \(\sum_{i=1}^{n}{\omega_i\Delta x_i}<\varepsilon\)

• 绝对可积性（可由衍生定理证明）、积分区间可加性

• 若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积（证明思路：一致连续性、达布定理衍生定理）

• 若\(f(x)\)在\([a,b]\)上单调，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积（证明思路：累加相消、达布定理衍生定理）

• 若\(f(x)\)是\([a,b]\)上只有有限个间断点的有界函数，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积（证明思路：不失一般性，先设仅有一个间断点\(c\rightarrow\)设\(\delta=\min\{\frac{\varepsilon}{6(M-m)},c-a,b-c\}\rightarrow\)\(f\)在\([c-\delta,c+\delta]\)上的振幅为\(\omega'\)，则\(\omega'\Delta'<(M-m)\cdot\frac{2\varepsilon}{6(M-m)}=\frac{\varepsilon}{3}\rightarrow\)其他区间可积，用达布定理）

• 设\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(F(x)=\int_{a}^{x}{f(x)dt}\)在\([a,b]\)上可积（证明思路：证明\(\lim{|F(x_0+\Delta x)-F(x_0)|}=0\)即可）

• 若\(F(x)=\int_{\Phi_1(x)}^{\Phi_2(x)}f(t)dt\)，则\(F'(x)=f[\Phi_2(x)]\Phi'_2(x)-f[\Phi_1(x)]\Phi'_1(x)\)

• \(\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(\sin{x})dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(\cos{x})dx\) \(\int^{\pi}_{0}xf(\sin{x})dx=\frac{\pi}{2}\int^{\pi}_{0}f(\sin{x})dx\)

• 积分中值定理

  

  

• 证明题基本思想

  奇偶性消复杂项、三角换元法（一般用于带三角函数的定积分，设变量为\(t=\frac{\pi}{2}-x\)等）、保序性证明积分大小、化变上限积分、积分中值定理

积分应用

• 平面面积（显然，定积分就可以求面积）

  极坐标：\(S=\frac{1}{2}\int^{\beta}_{\alpha}[r(\theta)]^2d\theta\)

• 旋转体体积

  \(V_x=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^2dx=2\pi\int_{f(a)}^{f(b)}y\cdot g(y)dy\)

  \(V_y=\pi\int_{a}^{b}[g(y)]^2dy=2\pi\int_{g(a)}^{g(b)}x\cdot f(x)dx\)

• 旋转体表面积（x轴）

  \(S=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx=2\pi\int_{T_2}^{T_1}|y(t)|\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt=2\pi\int_{\alpha}^{\beta}r(\theta)\sin(\theta)\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta\)

• 曲线长度

  \(L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'^2(x)}dx=\int_{T_2}^{T_1}\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta\)

• 曲率

  \(K=\frac{|y''|}{[1+y'^2(x)]^{\frac{3}{2}}}=\frac{|y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)|}{[x'^2(t)+y'^2(t)]^{\frac{3}{2}}}\) \(\rho=\frac{1}{K}\)（曲率半径）

广义积分（这里包含瑕积分）

• 广义积分收敛，但函数的极限不一定收敛

• 柯西收敛准则：

  \(\forall\varepsilon>0\) \(\exists M>0\) 当\(A_1>A_2>M\)时，\(|\int_{A_2}^{A_1}f(x)dx|<\varepsilon\)

• 若\(f(x)\)在\([a,+\infty]\)上连续，且\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛，则存在\(\{x_n\}\space s.t.\space\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=0\)（证明思路：使用柯西收敛准则、积分中值定理 \(\int_{n}^{n+1}f(x)dx=f(x_n)\)）

• 非负广义积分敛散性：

  \(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=l\)

  1. \(0<l<+\infty\) \(\int^{+\infty}_{a}f(x)dx\)与\(\int^{+\infty}_{a}g(x)dx\)同敛散性
  2. \(l=0\) \(\int^{+\infty}_{a}g(x)dx\)收敛，则\(\int^{+\infty}_{a}f(x)dx\)收敛
  3. \(l=+\infty\) \(\int^{+\infty}_{a}g(x)dx\)发散，则\(\int^{+\infty}_{a}f(x)dx\)发散

  注：若是瑕积分，极限取到瑕点，其余判断一致

• 普适性理论（瑕积分同理）

  1. 比较判别法（根据函数大小判定）

  2. 乘积有界证明法（多用于绝对收敛）

     若\(\int^{+\infty}_{a}f(x)dx\)绝对收敛，且\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)上连续有界，则无穷积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx\)绝对收敛

  3. Dirichlet判别法（证明思路：柯西收敛准则、积分第三中值定理）

     • \(F(A)=\int^{A}_{a}f(x)dx\)在\([a,+\infty)\)上有界；
     • 函数\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)单调且\(\lim_{x\rightarrow+\infty}{g(x)}=0\)

     则\(\int^{+\infty}_{a}f(x)g(x)dx\)收敛

  4. Abel判别法（证明思路：柯西收敛准则、积分第三中值定理）

     • \(\int^{+\infty}_{a}f(x)dx\)收敛；
     • \(g(x)\)在\([a,+\infty)\)单调有界

     则\(\int^{+\infty}_{a}f(x)g(x)dx\)收敛

常微分方程

• 一阶常微分方程

  \(\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)\)

  同解：

  \(y=e^{-\int p(x)dx}[C+\int {q(x)e^{\int p(x)dx}dx}]\)

• 二阶常微分方程

  \(\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=f(x)\)

  解方程\(\lambda^2+p\lambda+q=0\)

  • 两实数解：\(y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)
  • 唯一解：\(y(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\)
  • 虚数根：\(y(x)=C_1e^{ax}\cos{bx}+C_2e^{ax}\sin{bx}\) （\(a\)是实部，\(b\)是虚部）

  \(f(x)=P_m(x)\cdot e^{\mu x}\)，设\(\mu\)是方程的\(k\)重根，则：

  • 特解：\(y^*(x)=x^kP'_m(x)e^{\mu x}\)

  \(f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos{\beta x}+Q_l(x)\sin{\beta x}]\)，设\(\alpha+\beta i\)是方程的\(k\)重根，则：

  • 特解：\(y^*(x)=x^ke^{\alpha x}[A_{s}(x)\cos{\beta x}+B_s(x)\sin{\beta x}]\) （\(s=\max\{m,l\}\)）