9.全概率公式

1.定义

• 假设有一组互斥且穷尽的事件 A_1, A_2, A_n（即它们两两不相交且它们的并集构成了样本空间），而事件 B 是与这些事件相关的另一个事件。全概率公式可以表示为：
• 公式：\(P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B|A_i) \cdot P(A_i)\)

2.含义

\(P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B|A_i) \cdot P(A_i)\)

• 公式的含义是：事件 B 的概率等于在每个事件 (A_i) 发生的条件下，事件 B 发生的概率与事件 (A_i) 发生的概率的乘积之和。

• 具体公式的含义：

1. 事件 B 的概率 (P(B))：这是我们要计算的目标，即事件 B 发生的概率。

2. 事件 (A_i)：这是样本空间的一组互斥且穷尽的事件，它们两两不相交，并且它们的并集构成了整个样本空间。可以将 (A_i) 看作一组不同的情况或条件。

3. (P(B|A_i))：这是在事件 (A_i) 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率。它表示在考虑了特定条件 (A_i) 的情况下，事件 B 发生的概率。

4. (P(A_i))：这是事件 (A_i) 发生的概率，即在考虑任何其他信息之前，事件 (A_i) 发生的概率。也称为 (A_i) 的先验概率。

• 全概率公式的思想是，我们将事件 B 的概率表示为在每个事件 (A_i) 发生的条件下，事件 B 发生的概率的加权平均。权重由每个事件 (A_i) 发生的概率 (P(A_i)) 给出。因此，通过对所有情况（即所有事件 (A_i)）进行考虑，我们可以计算出事件 B 的概率。

• 全概率公式在概率计算中非常有用，特别是在贝叶斯推断中，当我们知道了一组互斥且穷尽的事件的概率和与这些事件相关的条件概率时，可以通过这个公式来计算我们感兴趣的事件的概率。

3.举例

1.例子1

• 四条生产线1234，1234四条成产线生概率分别是15% 20% 30% 35%，1234四条成产线的不合格率分别是0.05 0.04 0.03 0.02,A1,A2,A3,A4表示四条成产线，B表示不合格
• 求不合格的概率，P(B) =
  根据提供的信息，我们要求四条生产线中产生不合格品的概率，仍然可以使用全概率定理。

全概率定理的公式为：

P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3) P(B|A3) + P(A4)P(B|A4)

其中：

• ( P(A1) = 0.15 ) 是1号生产线出现的概率
• ( P(A2) = 0.20 ) 是2号生产线出现的概率
• ( P(A3) = 0.30 ) 是3号生产线出现的概率
• ( P(A4) = 0.35 ) 是4号生产线出现的概率
• ( P(B|A1) = 0.05 ) 是在1号生产线下产生不合格品的概率
• ( P(B|A2) = 0.04 ) 是在2号生产线下产生不合格品的概率
• ( P(B|A3) = 0.03 ) 是在3号生产线下产生不合格品的概率
• ( P(B|A4) = 0.02 ) 是在4号生产线下产生不合格品的概率

将数值代入公式计算：

P(B) = 0.15 * 0.05 + 0.20 * 0.04 + 0.30 * 0.03 + 0.35 * 0.02

P(B) = 0.0075 + 0.008 + 0.009 + 0.007

P(B) = 0.0315

因此，不合格的概率为 0.0315，即3.15%。

2.例子2

• 10台产品，3台次品，7台正品，已经卖出2台，此时再取一台是正品的概率

• 假设B表示第三次取是正品，A0表示前边卖出2台都是次品，A1表示前边卖出两台一台正品，一台次品，A3表示前边卖出两台都是正品，

• P(B) = 前两次都是次品，并且第三次是正品 + 前两次一次品一正品，并且第三次是正品，前两次都是正品，并且第三次也是正品。

• P(B) = P(A0)P(B|A0) + P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)

• 给定条件：

  • 总共有 10 台产品。
  • 次品数量为 3 台。
  • 正品数量为 7 台。
  • 已经卖出的产品数量为 2 台。

• 现在我们要计算第三次取到正品的概率（记为 B）。

1. 计算每个事件的概率：

   • P(A0)：前两次都是次品，第三次是正品。
     P(A0) = C(2, 3) / C(2, 10) * 7 / 8
     C(2, 3) = 3（从 3 台次品中选择 2 台）
     C(2, 10) = 45（从 10 台产品中选择 2 台）
     P(A0) = 3/45 * 7/8 = 21/360 = 7/120

   • P(A1)：前两次是一次品一正品，第三次是正品。
     P(A1) = C(1, 3) * C(1, 7) / C(2, 10)
     C(1, 3) = 3（从 3 台次品中选择 1 台）
     C(1, 7) = 7（从 7 台正品中选择 1 台）
     P(A1) = 3/45 * 7/8 = 21/360 = 7/120

   • P(A2)：前两次都是正品，第三次也是正品。
     P(A2) = C(2, 7) / C(2, 10) * 5 / 8
     C(2, 7) = 21（从 7 台正品中选择 2 台）
     P(A2) = 21/45 * 5/8 = 35/360 = 7/72

2. 计算 P(B) 使用公式：
   P(B) = P(A0) * P(B|A0) + P(A1) * P(B|A1) + P(A2) * P(B|A2)
   = (7/120) * 1 + (7/120) * (7/9) + (7/72) * (5/8)
   = 7/120 + 49/1080 + 35/576
   = (7 + 49 + 35) / 120
   = 91 / 120
   = 0.75833333333

• 所以，第三次取到正品的概率（P(B)）约为 0.7583，约为 75.83%。