[学习笔记] 扩展欧几里得算法

某王 课上给我们罗列一些算法，突然发现我竟然连扩欧都不会。。。

嗯，这篇博客不能被某王看到，不然要被打。。。

用途：

ax≡k*gcd(a,b)  [mod b]   这种问题就可以用扩欧来解决。

核心思路：

用类似欧几里得算法（又名辗转相除法）转化成具有递推关系的式子来求解。

推导过程：

ax≡k*gcd(a,b)  [mod b]很显然可以写成：ax-by=k*gcd(a,b)，这里为了方便我们把它写成：ax+by=k*gcd(a,b)把y取个反就好了。

那么为什么这个方程保证有解呢？

我们另ax+by=m。

因为a%gcd(a,b)=0，b%gcd(a,b)=0，所以m%gcd(a,b)=0，所以m=k*gcd(a,b)是肯定有解的。

那么这个解应该怎么来求呢？

我们再写一个方程：b*x₁+a%b*y₁=k*gcd(b,a%b)=k*gcd(a,b)=a*x+b*y

继续转换：b*x₁+(a-[a/b]_下取整*b)*y₁=a*x+b*y

再把a，b当作主元：a*y₁+b*(x₁-[a/b]_下取整*y₁)=a*x+b*y

得到：x=y₁，y=x₁-[a/b]_下取整*y₁。

让我们把b*x₁+a%b*y₁当成原方程再写一个方程：a%b*x₂+b%(a%b)*y₂=k*gcd(a%b,b%(a%b))=k*gcd(b,a%b)

那么我们是不是又能够得出：x₁=y₂，y₁=x₂-[a/b]_下取整*y₂。

我们是不是可以一直这样写下去直到b为0，这不就和欧几里得算法差不多。

最后一个方程就是：c*x_n+0*y_n=gcd(c,0)

因为gcd(c,0)=c，0*y_n=0所以x_n=0，而y_n可以为任意值。（建议给y_n取0，这样不容易爆long long）

然后我们再回上去求解就行。

代码实现：_{（这里以洛谷P1082为例）}

var
    x,y,a,b,t:int64;
procedure exgcd(a,b:int64);
begin
    if b=0 then
    begin
        x:=1;  y:=0;
        exit;
    end;
    exgcd(b,a mod b);
    t:=x; x:=y;
    y:=t-a div b*y;
end;
begin
    read(a,b);
    exgcd(a,b);
    x:=(x mod b+b)mod b;
    writeln(x);
end.