莫比乌斯反演的一些简单应用#4

拖更多年我又回来啦！！！（先让我看啊看上次讲到例几先

例8：

求：\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\end{aligned}\)

这题可以说是非常简单了（比例7简单多了的说，但是谁又能想到它是为了例9做铺垫呢）

直接枚举\(\gcd\)：

\(\begin{aligned}&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\\=&\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}\frac{\frac{ikjk}{k}}k\times[\gcd(i,j)=1]\\=&\sum_{k=1}^n\sum_{d=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}d^2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n{kd}\rfloor}i\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n{kd}\rfloor}j\\=&\sum_{T=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n T\rfloor}i\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n T\rfloor}j\sum_{d|T}\mu(d)\times d^2\\=&\sum_{T=1}^ns[\lfloor\frac n T\rfloor]^2\times F(T)\end{aligned}\)

其中\(T=kd\)，\(\begin{aligned}F(T)=\sum_{d|T}\mu(d)\times d^2\end{aligned}\)。

不难证明\(F(T)\)是一个积性函数，单次\(O(\sqrt n)\)结束战斗。

例9：

求：\(\begin{aligned}\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\end{aligned}\)。

连乘，这就很难受，因为至此为止我们对连乘仍一无所知，所以这里特别放一道。

\(\begin{aligned}&\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\\=&\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n\frac {ij}{\gcd(i,j)^2}\\=&(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^nij)\times(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n\gcd(i,j))^{-2}\\=&(\prod_{i=1}^ni^n\times n!)\times(\prod_{k=1}^nk^{\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}[\gcd(i,j)=1]})\\=&(\prod_{i=1}^ni^n\times n!)\times(\prod_{k=1}^nk^{\sum_{d=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}\mu(d)\times\lfloor\frac n {kd}\rfloor^2})^{-2}\end{aligned}\)

前面一个括号暴力即可。

后面次方上的一坨，只要令\(m=\lfloor\frac n k\rfloor\)，那么便是一个最基础的莫比乌斯反演板子啦。

最后一个例题就放到“5”再讲了，我们来讨论一下\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)^{\gcd(i,j)}\end{aligned}\)，大家可以提前思考起来了。