[学习笔记] 约数函数
众所周知，\(d\)和\(\sigma\)都是积性函数，今天我们来对这俩动刀子。
我打算只讲稍难\(\sigma\)，剩下的那个\(d\)，留给大家自己思考。
根据定义得到：
\(\begin{aligned}\sigma(p^k)=1+p+p^2+...+p^k\end{aligned}\)
然后我们就能推导出\(\sigma\)的求值式：
\(\begin{aligned}n=\prod_{i=1}p_i^{c_i}\end{aligned},\)
\(\begin{aligned}\sigma(n)=\prod_{i=1}1+p_i+p_i^2...+p_i^{c_i}\end{aligned}\)
尝试用线性筛构造这个函数：
设\(x=i\times p_1\)，其中\(p\)为\(x\)的最小质因子，\(\begin{aligned}x=\prod_{i=1}p_i^{c_i}\end{aligned}\)。
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\(x\)为质数：\(\sigma(x)=1+x\)
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当\(i\)与\(p_1\)互质时：\(\sigma(x)=\sigma(i)\times\sigma(p_1)\)
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当\(i\%p_1=0\)时：
我们具体来讨论一下这个情况。
\(\begin{aligned}\sigma(x)=\prod_{i=1}1+p_i+p_i^2+...+p_i^{c_i}\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}\sigma(i)=(1+p_1+p_2^2+..+p_1^{c_1-1})\prod_{i=2}1+p_i+p_i^2+...+p_i^{c_i-1}\end{aligned}\)
我们想要直接通过\(\sigma(i)\)来求\(\sigma(x)\)显然是不现实的，因为我们不知道\(c_1\)是多少。
那么我们应该怎么做呢？
我们尝试把这个包含绝对关系的式子转换成包含相对关系的式子。
因为我们\(x\)和\(i\)，从第二项开始就是一样的了，所以我们可以设：\(\begin{aligned}T=\prod_{i=2}1+p_i+p_i^2+p_i^{c_i}\end{aligned}\)
然后式子就转换为了：
\(\begin{aligned}\sigma(x)=\sigma(i)+p_1^{c_1}\times T\end{aligned}\)
我们来考虑一下怎么把这个讨厌的\(p_1^{c_1}\)给处理了。
注意我们一开始的目标：把绝对关系转化成相对关系。
既然我们不知道\(p_1^{c_1}\times T\)的值，那么我们能不能求出\(p_1^{c_1-1}\times T\)的值呢？
注意到\(\begin{aligned}\sigma(i)=\sigma(\frac i {p_1})+p_1^{c_1-1}\times T\end{aligned}\)。
然后怎么做应该就不用我多说了吧——盘他！
\(\begin{aligned}\sigma(x)&=\sigma(i)+p\times(\sigma(i)-\sigma(\frac i {p_1}))\\&=(1+p)\times\sigma(i)-p\times\sigma(\frac i{p_1})\end{aligned}\)
然后我们就能直接用线性筛来求约数函数了。
最后，我在稍微写一下\(d\)的式子吧：
\(\begin{aligned}d(x)=2\times d(i)-d(\frac i {p_1})\end{aligned}\)
