试卷最后一小问 sillation 造题的几分钟 | CTOI 成立两周年

【资料袋】
在七年级下册，你的数学老师一定告诉你过或你一定在解决不等式应用题中见到过它（\(a,b,c\) 均为常数）：

\[ax+by=c \]

这时sillation想到这不仅是二元一次方程，而且你还可以叫他二元一次不定方程。不定方程,又称丢番图方程，是一种通常涉及两个或多个更多未知数的的多项式方程，求解常常仅仅在整数范围内进行。

特别地，在本题中，只需考虑最简单的不定方程，即形如 \(ax+by=c\) 的二元一次不定方程，并只需要解决 \(a,b,c\) 均为整数的情况。

不定方程？这让 sillation 想到了著名的裴蜀定理：对于整数 \(a,b\)，设他们的最大公约数为 \(\gcd(a,b)=d\),一定存在一组整数 \((x,y)\) 使得 \(ax+by=d\)。此外，对于整数 \(a,b,c\)，\(ax+by=c\) 有整数解当且仅当 \(c\) 是 \(gcd(a,b)\) 的倍数。

欧几里得算法（又称辗转相除法）用于计算两个数的最大公约数。欧几里得算法求两数 \(a,b\) 的最大公约数 \(\gcd(a,b)\)，\(a,b\) 皆为整数。

1. 当 \(b=0\) 时，\(a,b\) 的最大公约数就是 \(a\)。
2. 求出 \(b,a \bmod b\) 的最大公约数，设为 \(g_0\)。
3. 令 \(g=g_0\)，\(g\) 就是 \(a,b\) 的最大公约数。

你不认识 \(\bmod\) (读作模）？对于整数 \(a,b\)，满足 \(b>0\)，则存在唯一的整数 \(q,r\)，满足 \(a=bq+r\)，其中 \(0 \le r <b\)。其中称 \(q\) 为商、\(r\) 为余数。与余数用 \(a \bmod b\) 表示。

\(\bmod\)？这让 sillation 想到若两数 \(x \bmod b=y \bmod b\)，则称 \(x,y\) 模 \(b\) 同余，记作 \(x \equiv y \pmod b\)。

好了，再不想了，开始作题了！

【sillation 造题的几分钟 | CTOI 成立两周年】

班主任张老师让 sillation 出一张试卷，好消息是只剩最后一题了，坏消息是目前 sillation 还没有出一道题。

sillation 开始造题了！

“第一分钟，J 君说，要有资料，于是就有了【资料袋】”，

“第二分钟， C 君说，要有创新，于是就有了新定义【毁灭数】：如果整数 \(a,x\) 满足 \(a \times x \equiv 1 \bmod p\)，那么称之为【毁灭数】”，

“第三分钟，N 君说，要有问题一，于是问对于 \(ax+by=c（a,b,c)\) 均为常数的不定方程，请用含一个未知数和 \(a,b,c\) 的两个整式分别表示出方程的解 \(x,y\)。

“第四分钟，L 君说，要有问题二，于是问当【毁灭数】中 \(a=2\) 使 \(p\) 等于多少，请用含 \(a\) 的整式表达。”

好的,sillition 出完题了，该你了！