【AtCoder Regular Contest 110 选做】D

D

题目链接：https://atcoder.jp/contests/arc110/tasks/arc110_d

此处我们应当通过实际意义理解组合数式意义

这种思路在证明组合数恒等式时常用，如范德蒙德卷积

\(\sum^{k}_{i=0} \sum_{j+i=k} C ^{i}_{a} \times C ^{j}_{b} = C ^{k}_{a+b}\)

在\(a\)个数和\(b\)个数（\(a+b\)个数各不相同）中各选择若干个数，总共选择\(k\)个的方案数，实际上就是在\(a+b\)个互不相同的数中选择\(k\)个的方案数

考虑子问题，将题目中的小于\(M\)改为恰好为\(M\)

我们考虑\(\prod^{N}_{i=1}C^{A_i}_{B_i}的实际意义\)

即在\(B_1\)个数中选\(A_1\)个，并且在\(B_2\)个数中选\(A_2\)个，依次类推，并且在\(B_N\)个数中选\(A_N\)个

我们将\(B_1,B_2,B_3,...,B_N\)合为个数为\(\sum B_i\)即\(M\)的球，编号为\(1\rightarrow M\)

我们先思考为什么答案非\(C^{\sum A_i}_{\space \space \space M}\)

很容易可以发现，无法保证对于每个\(B_i\)，都选到了\(A_i\)个球

由于\(B_i\)的值可以改变，我们考虑加入\(N-1\)个插板分隔\(B_i\)和\(B_{i+1}\)的区间

我们可以在长度为\(M\)的球中混入\(N-1\)个插板，插板的位置随选择的球而改变，即

假设选择的空位（空位是用来放\(\sum{A_i}\)个球和\(N-1\)个插板的）序列为\(s_1,s_2,s_3,...,s_{\sum{A_i}}\)

那么\(s_1,s_2,...,s_{A_1}\)这些位置放球，\(s_{A_1+1}\)放插板，\(s_{A_1+2},s_{A_1+3},...,s_{A_2+N+1}\)放球，\(s_{A_2+N+2}\)放插板，以此类推

可以发现这里的\(B_i\)值实际上随着空位的不同而变动了，但是由于\(\sum B_i = M\)且\(B_i>A_i\)，所以不会漏解或错误

所以问题转化为，在\(M+N-1\)个位置中选择\((\sum A_i) +N-1\)个位置，答案为\(C^{(\sum A_i)-1}_{M+N-1}\)

子问题解决，我们来看最终的答案

\(\sum^{M}_{i=\sum{A_i}}C^{(\sum A_i)+N-1}_{i+N-1}\)

\(=\)

\(\sum^{M+N-1}_{i=\sum{A_i}+N-1}C^{(\sum A_i)+N-1}_{i}\)

想必各位都知道恒等式

\(\sum^{n}_{i=k}C^{k}_{i}=C^{k+1}_{n+1}\)

因此，

\(\sum^{M+N-1}_{i=(\sum{A_i})+N-1}C^{(\sum A_i)+N-1}_{i}=C^{(\sum{A_i})+N}_{M+N}\)

即为答案