糖糖复活

何意味？和一位？合一位？合意喂？合意未？

• 9.7

  打洛谷冲刺 NOIP 后期的模拟赛？不过只打了半场。

  • R14 - T1 序列

    考虑先进行差分 \(C_{i} =A_{i+1} - A_{i}\)，我们的目标是将每个 \(C_i\) 都变为 \(0\)，因此我们每次都一定会选一对 \(C_i>0,C_j<0(i<j)\)，由于对任意 \(C_i=\sum_{i=1}^ia_i=a_{i+1}\)，所以可以得出最小次数为 \(\frac{1}{2}\sum_{i=0}^n|C_i|\)

    观察发现最小时必然不会出现两个相互包含的区间，我们贪心在每个 \(i\) 寻找前面 \(j\) 进行匹配，用队列维护即可。

    至于最大值就比较肆意了，就是贪心找靠后的匹配点，这个也是很显然的，我们用栈维护即可。

  • R14 - T1 序列

    首先我们能发现不可能连续复制两次，因为这样没有意义，不会改变任何东西

    复制后必然紧跟着粘贴，所以操作序列为 复制一次，粘贴若干次，再复制一次，粘贴若干次... 一共有 \(k\) 轮这样的复制，每一轮的操作次数为 \(a_1\) 到 \(a_k\) 次。

    通过计算我们可以算出这么多次操作后到底有多少字符，是 \(\prod a_i\) 个字符，直接计算代价，我们得出其代价为 \(kx+y\sum_{i=1}^k(a_i-1) = (x-y)+y\sum_{i=1}^ka_i\)

    我们发现，答案不会存在 \(a_j-a_i≥2\) 的情况，因为这种情况我们可以转化为 \(a_i+1\) 和 \(a_j-1\)，这样总和不变，但是总乘积 \(\prod a_i\) 会变大，因此最优解必然不存在两个差值大于 \(1\) 的 \(a_i\)

    我们也就可以将这些 \(a_i\) 划分成若干段，根据上面的结论其中有且仅有 \(t\) 和 \(t+1\)，我们枚举 \(k\)，并且在内部再枚举一个 \(p\)，代表有 \(p\) 段 \(t\)，那么也就有 \(k-p\) 段 \(t+1\)

    我们需要找到最小的 \(t\) 让 \(t^p(t+1)^{k-p}>N\)，这似乎可以直接二分实现。

    我们此时来分析一下复杂度发现 \(k\) 实际上是 \(\log n\) 级别的，这样我们的复杂度也就是 \(\mathcal O(\log^4 n)\) 级别的，可以通过此题

• 9.8/9.9

  牛魔怎么忘写了，一块补了

  • P10680
    我们能发现题目大抵就是说：\(\max\{a_i\}<\min\{b_i\}\)，但是也会发现有一些很不牛的奶龙属于特例。

    观察题目决定先考虑特殊性质，不存在 \(a_i > b_i\) 时是完全符合最开始的结论的，我们叫它正区间，因为这个时候没有不牛的奶龙，可以直接线段树维护找一个点被覆盖次数的最大值作为答案。

    若存在第 \(i\) 只奶龙 \(a_i>b_i\)，我们叫它反区间，虽然第 \(i\) 只奶龙不会吃掉自己（有提到 $i\not=j $），但是会影响到上面的判断，我们可以发现这样的奶龙只会在被包含的情况下选且仅会选一个。

    如果反区间不被完全包含而是和正区间有交，我们可以把交点拿出来当做被覆盖的点，然后无视这个反区间即可。

    那么我们就可以得出做法：维护所有正区间的覆盖次数以及是不是反区间，如果是被包含的反区间则在计算时将答案额外 \(+1\) 即可。

    复杂度 \(\mathcal O(n \log n)\)，可以通过本题。

  • P1316
    这个容斥有点典了吧，所有的子串数是 \(\frac{l(l+1)}{2}\) 但是有重复的所以考虑进行容斥，枚举子串长度为 \(l\) 分别考虑对应的贡献，假设出现了 \(c\) 次，出现位置的集合为 \(S\) 那么对答案的贡献就是 \((-1)^{\text{popcount}(S)+c}\) 接下来就差方案数，我们用并查集维护应该与上一位相同的位置，设联通快个数也就是没有约束的位置为 \(x\)，总贡献为 \(ans=(-1)^{\text{popcount}(S)+c}m^x\)。

  • P10680
    发现带修太坏了，所以先考虑如何不带修的做。似乎不带修是一个 ST 表的板子？我们设 \(f_{i,k}\) 表示从 \(i\) 开始一直到 \(i+2^k-1\) 张牌共 \(2^k\) 张牌决斗剩下的最后一张牌的力量大小，那么我们就可以得出一个显然的转移：\(f_{i,k}= |f_{i,k-1}-f_{i+2^k-1,k-1}|\)。

    那么不带修的做完了，带修的怎么办呢？总不能对每次修改都建立一个 ST 表吧？考虑进行根号分治平衡复杂度，对于 \(k<B\) 的部分，我们可以直接进行暴力重构，否则在查询的时候递归向下查询然后合并即可。

  • P10334
    水题，直接单调栈即可。