DP搬运工2

DP搬运工2

题目描述

给你 \(n,K\)，求有多少个 \(1\) 到 \(n\) 的排列，恰好有 \(K\) 个数 \(i(1<i<n)\) 满足 \(a_{i-1},a_{i+1}\) 都小于 \(a_i\) 。

输入格式

一行两个整数 \(n,K\)。

输出格式

一行一个整数 \(ans\) 表示答案 \(mod\ 998244353\) 。

样例

样例输入1

4 1

样例输出1

16

样例输入2

10 3

样例输出2

1841152

数据范围与提示

对于 \(25\%\) 的测试点，\(1\leqslant n,K \leqslant 10\) ；

对于 \(50\%\) 的测试点，\(1\leqslant n,K \leqslant 100\) ；

对于 \(100\%\) 的测试点，\(1\leqslant n,K \leqslant 2000\) ；

保证数据有梯度

分析

同样的预设型 \(dp\) ，但是要简单一些。我们这次只需要考虑有几个符合条件即可。所以我们定义 \(f[i][j]\) 为插入 \(i\) 的时候，有 \(j\) 个满足要求的数。我们仍然按照插入位置分情况。

转移肯定是从 \(f[i-1][j]\) 转移来，那么我们考虑一下，什么情况下加一个数但是符合要求的数量不变：

• 1、放到之前符合要求的某一组里，多了一组少了一组，相当于没变化。
• 2、放到两个端点的时候不变。

其他情况都是不加的。然后愉快的转移

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 2e3+10;
const int mod = 998244353;
int n,k;
int f[maxn][maxn];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	//初始化
	f[1][0] = 1;
	f[2][0] = 2;
	for(int i=3;i<=n;++i){
		int jl = min(k,i>>1);//最多有i除以2的满足的情况。
		for(int j=0;j<=jl;++j){//枚举所有的位置
			if(f[i-1][j] == 0)continue;
			f[i][j] = (f[i][j] + f[i-1][j] * 1LL * ((j+1) << 1))%mod;//放到之前的某个里或者边界，此时满足条件的不加
			f[i][j+1] = (f[i][j+1] + f[i-1][j] * 1LL * (i-((j+1) << 1)))%mod;//放到其他地方，满足条件的加一
		}
	}
	printf("%d\n",f[n][k]);
	return 0;
}