ICLR 2020 | 抛开卷积，multi-head self-attention能够表达任何卷积操作
近年来很多研究将nlp中的attention机制融入到视觉的研究中，得到很不错的结果，于是，论文侧重于从理论和实验去验证self-attention可以代替卷积网络独立进行类似卷积的操作，给self-attention在图像领域的应用奠定基础
论文: On the Relationship between Self-Attention and Convolutional Layers
Introduction
transformer的提出对NLP领域的研究有很大的促进作用，得益于attention机制，特别是self-attention，会考虑词间的相似性，对当前词进行加权输出。受到词间关系学习的启发，self-attention也开始用于视觉任务中，但大都是attention和convonlution的结合。Ramachandran在19年的研究中，用full attention model达到了resnet baseline的精度，模型参数和计算量相比卷积网络减轻了不少
因此，论文主要研究self-attention layer在图片处理上是否能达到convolutional layer的效果，贡献如下：
- 在理论层面，论文通过构造性证明self-attention layers能够替代任何卷积层
- 在实际层面，论文通过构造multi-head self-attention layer进行实验，证明attention-only架构的前几层的确学习到了关注query pixel附近的g网格区域特征
Background on attention mechanisms for vision
The multi-head self-attention layer
定义\(X\in \mathbb{R}^{T\times D_{in}}\)为输入矩阵，包含\(T\)个\(D_{in}\)维的token，在NLP中，token对应着序列化的词，同样地也可以对应序列化的像素
self-attention layer从\(D_{in}\)到\(D_{out}\)的计算如公式1,2所示，\(A\)为attention scores，softmax将score转换为attention probabilities，该层的参数包含查询矩阵(query matrix)\(W_{qry}\in \mathbb{R}^{D_{in}\times D_k}\)，关键词矩阵(key matrix)\(W_{key}\in \mathbb{R}^{D_{in}\times D_k}\)，值矩阵(value matrix)\(W_{val}\in \mathbb{R}^{D_{in}\times D_{out}}\)，都用于对输入进行变化，基本跟NLP中的self-attention一致
因为只考虑相关性，self-attention一个很重要的属性是，不管输入的顺序如何改变，输出都是不变的，这对于希望顺序对结果有影响的case影响很大，因此在self-attention基础上为每个token学习一个positional encoding参数，\(P\in \mathbb{R}^{T\times D_{in}}\)为包含位置信息的embedding向量，可以有多种形式
这里采用multiple heads版本的self-attention，每个head的参数矩阵都不一样，能够提取不同的特征，\(N_h\)个head输出\(D_h\)维结果concat后映射成\(D_{out}\)维的最终输出，两个新参数，映射矩阵(projection matrix)\(W_{out}\in \mathbb{R}^{N_hD_h\times D_{out}}\)，偏置\(b_{out}\in \mathbb{R}^{D_{out}}\)
Attention for images
卷积是最适合神经网络的图片操作方法，给予图片\(X\in \mathbb{R}^{W\times H\times D_{in}}\)，卷积在\((i,j)\)的操作如公式5，\(W\in \mathbb{R}^{K\times K\times D_{in}\times D_{out}}\)，\(b\in \mathbb{R}^{D_{out}}\)，K为卷积核的大小
在图片上应用self-attention，定义查询像素和关键词像素\(q,k\in[W]\times [H]\)，输入的向量大小为\(X\in \mathbb{R}^{W\times H\times D_{in}}\)为了保持一致性，用1D的符号来代表2D坐标，比如\(p=(i,j)\)，用\(X_p\)代表\(X_{ij}\)，用\(A_p\)代表\(A_{ij}\)
Positional encoding for images
位置编码目前主要有两种，分别是绝对位置(absolute)编码和相对(relative)位置编码
在绝对位置编码中，每个像素拥有一个位置向量\(P_p\)(学习的或固定的)，于是公式2可以转换为公式7
相对位置编码的核心是只考虑查询像素和查询像素之间的位置差异，如公式8，大体是将公式7的每一项的绝对位参数改为相对位置参数。attention scores只跟偏移\(\delta:=k-q\)，\(u\)和\(v\)是learnable参数，每个head都不一样，而每个偏移的相对位置编码\(r_\delta\in \mathbb{R}^{D_p}\)是head共享的。关键词权重分成了两部分，\(W_{key}\)属于输入，\(\widehat {W}_{key}\)属于偏移
公式9称为二次编码(quadratic encoding)，参数\(\Delta^{(h)}=(\Delta_1^{(h)},\Delta_2^{(h)})\)和\(\alpha^{(h)}\)分别代表中心点以及attention区域的大小，都是通过学习得来的，而\(\delta=(\delta_1,\delta_2)\)则是固定的，代表查询像素和关键词像素的相对位移
Self-attention as a convolutional layer
定理1，对于multi-head self-attention，\(N_h\)个head，每个head输出\(D_h\)维，整体最终输出\(D_{out}\)，相对位置编码\(D_p\ge 3\)维，可以表示任何卷积，核大小为\(\sqrt{N_h}\times \sqrt{N_h}\)，output channel为\(min(D_h,D_{out})\)
对于output channel不是固定\(D_{out}\)，论文认为当\(D_h<D_{out}\)时，\(W_{out}\)相当于一个升维操作，这个操作的特征提取不能代表原始卷积的属性，实际中，一般采用\(D_h=D_{out}，\)这里是我的个人理解，可能有错误
上面的定理表明，在选择适当的参数后，multi-head self-attention layer可以表现得跟卷积层一样，每个head的attention score关注不同偏移距离的像素，偏移值分别在集合\(\Delta_K={-\lfloor K/2\rfloor,...,\lfloor K/2\rfloor}\)内，这样整体就类似于\(K\times K\)核，如图1所示
卷积神经网络不止卷积核大小这个超参，还有很多其它超参，这里论文对输出的数值的一致性上进行了解释：
- Padding: multi-head self-attention layer默认使用"SAME"的填充模式，而卷积层会减小K-1个像素的图片大小，因此，为了减少边界影响，可以对卷积图片进行\(\lfloor K/2\rfloor\)的零填充
- Stride: 卷积神经网络的步长可以认为是在卷积后面加入一个pooling操作，而Theorem 1默认步长为1，但可以在后面接个pooling达到相同的结果
- Dilation: 因为multi-head self-attention可以设置任意的偏移值，因此也可以代表空洞卷积
Experiments
实验的主要目的在于验证self-attention进行类似卷积的操作，以及self-attention在实际中是否学习到了类似卷积的属性，包含3种类似的attention，分别为quadratic embedding，learned embedding和learnded embedding + content，具体可以看作者开源代码的attention score计算部分。根据作者的解答，前两种都对应于代码的第一种注释，区别在前者按照公式9来计算\(r_{\delta}\)，后者则是完全随机学习来的，最后一种则对应注释的第三种
Implementation details
搭建一个包含6层multi-head self-attention的神经网络，实验主要和标准ResNet18对比，固定的图片输入，最后使用average pooling将结果送给分类器
结果如图2和Table1所示，ResNet收敛更快，但不能确定这是卷积固有的属性还是结构优化带来的结果，由于实验的结构还是很naive的，所以会存在差距，通过一些优化手段应该可以解决
Quadratic encoding
论文进行实验验证公式9的相对位置编码\(r_{\delta}\)是否学习到了类似卷积的操作，实验使用9个head来模拟\(3\times 3\)卷积操作
从图3可以看出， 网络第四层中各head的位置变化，在经过优化后，各head关注的pixel形式类似于grid的分布，可见的确学到了类似卷积核的操作
图4则展示了不同层的head分布，可以看到层1和2更关注local区域，而层3-6更关注更大的区域
Learned relative positional encoding
首先，论文去除了与输入数据相关的attention内容，仅考虑公式8的最后一项进行统计，结果如图5所示，层1-3非常接近查询区域，而深层数据则更关注整图的信息
接着使用论文对positional attention和content-based attention进行了分析\((q^\intercal r+q^\intercal k)\)，将100张图的attention probabilities进行了平均结果如图6所示。在层2和3中，尽管输入的数据不一样，但一些head学到了去关注查询像素附近的特定区域的像素这一行为，与卷积操作十分类似，而其它的head则使用了更多的content-based attention。在实际中，图6中的localized attention patterns是随着查询像素移动的，这与卷积操作更加类似，想请可以看 https://epfml.github.io/attention-cnn/
CONCLUSION
论文展示了self-attention layers可以表示任意convolutional layer的行为，以及full-attentional模型能够学会如何结合local behavior和基于输入内容global attention。在未来，可以将卷积网络的优化方法迁移到full-attention模型上，应用于不同数据领域的模型，例如图像，文字和时间序列
感谢
在论文阅读期间遇到了很多问题，给作者发了邮件后，很耐心地回答了我的问题，在这里十分感谢作者Jean-Baptiste Cordonnier
参考内容
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