BZOJ1426

 以下摘自BraketBN,Orz

参考【pygbingshen的题解】,推了一晚上终于推出来了。

注意题意指的是,第i次买的时候价钱为i,不是编号为i的邮票价钱为i(否则样例应该是11...)。

 

设g[i]表示已经收集了i张邮票,要收集到n张邮票的期望购买次数。

设pr(x, i)表示已经收集了i张邮票,购买x次能收集到n张邮票的概率。

那么根据g[i]定义,有

(pr(x, i)是可以表示出来的,但是表示出来也没有实际用处,所以为了方便,设为pr(x, i))

但是我们计算g[i]并不能用定义式,因为是无穷的,而且过于麻烦。

其实g[i]的问题是一类经典问题,这类问题的解决方法是递推。

由结论,有

这里证明一下为什么是加n / (n - i)...

假设现在有i张邮票,那么可以通过

(1)抽一次得到i + 1张邮票,期望为1 * (n - i) / n

(2)抽两次得到i + 1张邮票,期望为2 * i / n * (n - i) / n

(3)抽三次得到i + 1张邮票,期望为3 * (i / n)^2 * (n - i) / n

(4)...

显然是一个无穷级数,相当于求

这个式子用错位相减法搞一搞,求出来就是n / (n - i),高中数学内容就不详细说了...

那么现在可以求出g[i]了,先把这个数组放一边,一会用。

 

设f[i][j]表示已经收集了i张邮票,买下一张邮票需要花费j元,收集到n张的期望花费。

那么有两种情况

(1)没收集到i + 1张邮票,期望为f[i][j + 1] * i / n

(2)收集到了i + 1张邮票,期望为f[i + 1][j + 1] * (n - i) / n

花费都为j,得到

但是这还是个无穷的表达式(j会非常大),并不能直接拿去用。

 

利用f[i][j]的定义,再列出一个定义式。

(这个定义式有点神奇...)

根据这个整理后的定义式,列出f[i][j + 1],并作差,可以得到

发现这玩意"恰好"就是g[i]。

我们把f[i][j + 1]代入到上面推出的递推式里,整理一下。

变成了一个方程,把f[i][j]表示出来。

然后就可以递推了?等会,注意到f[i][j]里还有个j,我们该开多大数组?然后再看看,发现除过j,没有用到其他的值(比如j+1, j+2, j-1啥的),整个式子里只有j这一维。

显然我们要求的是f[0][1],所以我们把j都变成1就好了,这样就不用第二维了。

完啦。答案为f[0]。

 

/* Footprints In The Blood Soaked Snow */
#include <cstdio>

typedef double DB;

const int maxn = 10005;

int n;
DB g[maxn], f[maxn];

int main() {
	scanf("%d", &n);
	g[n] = 0;
	for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
		g[i] = g[i + 1] + n /(DB)(n - i);
	f[n] = 0;
	for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
		f[i] = (n + g[i] * i + (f[i + 1] + g[i + 1]) * (n - i)) /(DB)(n - i);
	printf("%.2lf\n", f[0]);
	return 0;
}

 

 

代码比较短,过程比较长。

posted @ 2016-04-02 18:03  微弱的世界  阅读(233)  评论(0编辑  收藏  举报