高数上-笔记1：函数和极限

第一章 函数和极限

An introduction

elementary mathematics focus on invariant, unlike the variables which is the focus of advanced mathematics.

[version 1] one immature perspective:advanced mathematics delves into variables.Elementary mathematics focus on invariants.

[version 2] the focus of calculus is function.

第一节 映射和函数

一.函数

1.1 函数的概念

实例：

\[y=f(x) \]

数学表示	名称
y	因变量
$$R_f$$	值域
x	自变量
$$D_f$$	定义域

1.2 映射

1.2.1 映射的概念

假设有两个非空数集x,y,对于x来中任何一个元素来说，都存在一个从始至终都未改变的法则f，将x中任一个元素按照这个法则f的规律映射到y中，且这一个映射结果都能在y中找到.

则称法则f是非空集合x到y的一个映射.(只是一个规则而已，并未规定x,y集合应该是什么样子的，就是说x中任意一个元素都能在y中找到)

1.2.2 映射分类

key point : 值域$R_f$是所有可能的结果的集合(来规定x,y的集合样式)

映射现象	类别	深度理解
任一个y中元素都能找到x中所对应的唯一的元素且这个元素只能对于y中这一个值	单射	映射允许多个x对应一个y，那么单射可以规范这个现象
y中所有元素都能按照法则f根据x找到	映射或满射	如果y的范围大于根据法则f将x映射出来的结果集，那么满射可以规范这个现象
如果一个映射既是满射又是单射	一一映射

1.3 函数相等的概念(version2)

|子概念|解释|
|:--😐:--😐:--😐
|f|符号可以改变|
|函数相等|定义域值域相等，且对应法则也相等|
|定义域|1.实际场景 2.使得算式有意义|

1.4 函数的表达方式

• 表格法
• 图形法
• 解析法(公式法)

实例：

(表格法)

x	0	1	2	3
y	0	1	4	9

（图形法）

（解析法）
$y=x^2,x\in D$

More detail on forumla:

函数表达方式：$y=f(x),x\ in D$

Note：

值域表达方式： $R_f=f(D)= \lbrace y|y=f(x),x \in D \}$

1.5 函数的几种特性

1. 有界性
2. 单调性
3. 奇偶性
4. 周期性

1.5.1 有界性

设定$X \in D$,且下面任一方程式满足 $\forall x \in X $:

$f(x) \leq K_1 : K_1 上界 $

$f(x) \geq K_2 : K_2 下界 $

函数f(x)在X上是有界的充分且必要条件是它在在X上既有上界又有下界。

1.5.2 单调性

设定区间$I \in D,且 \forall x_1,x_2 \in I$:

• $when x_1 \leq x_2,f(x_1) \leq f(x_2)$ --->$f(x)在区间I上单调递增.$
• $when x_1 \leq x_2,f(x_1) \geq f(x_2)$--->$f(x)在区间I上单调递减.$

1.5.3 奇偶性

++If D is symmetrical to the origin and $\forall x \in D$:++

• $f(x)=f(-x)$--->$f(x)是偶函数$
• $f(-x)=-f(x)$--->$f(x)是奇函数$

1.5.4 周期性

$Given \quad \exists l\quad(positive \quad number) \quad and \quad \forall x \in D \quad as\quad well \quad as \quad (x+l)\in D $

-->$f(x+l) = f(x)$，则称$f(x)为周期函数,且l成为f(x)的周期(最小正周期).$

1.6 反函数和复合函数

1.6.1 反函数

1.逆映射

映射:

$f是从X到Y的映射且为单射^{[1]}，记作 f:x \longmapsto y$

$[1]: f为单射，这样的话保证逆映射回来的时候不会出现单个定义域内的值对应 多个值域内的值. $

逆映射:

$设定 \quad y \in R_f \quad 使得 \quad g(y) = x \quad 且 \quad y = f(x) ,这样称 \quad g:x \longmapsto y \quad 是映射f:x \longmapsto y 的逆映射,记作 f^{-1}.$

几个事实：

D_{f^{-1}} = R_f(x)

D_f = R_{f_{-1}}

2.反函数

$设函数f:D \mapsto f(D)是单射,则它存在逆映射f^{-1}:f(D)\mapsto D,则称该映射f^{-1}为函数f的反函数.$

1.6.2 复合函数

1.复合映射

设定有两个映射，f:X_1 \mapsto Y_1,g:Y_1 \mapsto Y_2,则存在复合映射 f \circ g : X_1 \longmapsto Y_2.

记作: f \circ g : X \mapsto Y_2,(f \circ g)(x) = f[g(x)], x \in X.

Notes: $ \quad\quad\quad R_g(x) \in D_f$

2.复合函数

直接套用复合映射的概念,$f \circ g (x)=f[g(x)].$

在这里也还是出现 $R_g(D_g) \in D_f$

1.7 函数的运算

\[设定两个函数f,g,各自定义域为 D_f 和 D_g,且D = D_f \cap D_g \neq \emptyset. - 和（差） (f+g)(x)=f(x)+g(x),x \in D. - 积 (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x),x \in D. - 商 \frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)},x \in D \backslash \{x|g(x)=0,x \in D\}. \]

1.8 初等函数

1.8.1 基本初等函数

1. 幂函数
2. 指数函数
3. 对数函数
4. 三角函数
5. 反三角函数

1.8.2 初等函数

将常数和基本初等函数进行有限次的四则运算和复合操作得到的函数叫做 初等函数。