「JOI 2025 Final」只不过是长的领带 2 / Just Long Neckties 2

考虑钦定了一些观众去回应怎么算。让 \(i\) 向 \(j\) 连边，当且仅当 \(i<j\) 并且 \(A_i<A_j\)。问题就成了被选中观众的点的最小链覆盖。因为显然是偏序集，所以考虑 Dilworth 定理转化成最长反链覆盖，即最长下降子序列。

也就是我们要选出一个支配集，使得其 LDS 长度最小。用经典 dp 来做，并且我们实际上只需要用 \(S\) 来标记状态（似乎不用转化成 LDS 也能根据贪心有一样的状态）。令 \(f_S\) 表示最晚能从哪里使状态变成 \(S\)，容易发现这个点越靠后越好。我们可以枚举下一个状态与当前状态变化的位置 \(x\)，那么选择的序列一定是先是一堆 \(S\) 中的数，然后是 \(x\)。并且 \(x\) 前面的 \(S\) 中的数都是能选尽量选。这样一来也就是说如果从 \(f_S+1\) 到一个位置 \(x\) 中间没有两个连续的且不在 \(S\) 中的数，那么就可以对 \(f_{S\bigcup \{x\}}\) 产生 \(x\) 的贡献。那么对于 \(S\) 找到 \(f_S\) 后面第一个连续两个数不在 \(S\) 中的位置，那么再找到这个位置前面的第一个 \(x\) 即可。特殊的，如果这样的位置不存在，就可以对答案产生贡献。

关于如何找到这样的位置：记 \(g_{i,j}\) 表示 \(i\) 之后第一个满足 \(A_x=A_i\) 并且 \(A_{x+1}=j\) 的位置。这样就可以方便转移了。

时间复杂度 \(\mathcal O(nV+2^VV^2)\)，空间复杂度 \(\mathcal O(nV)\)。