【BZOJ 3924】[Zjoi2015]幻想乡战略游戏

题目：

　　

题解：

　　对点分树理解加深了233，膜拜zzh干翻紫荆花。

　　感谢zzh的讲解。

　　首先优化基于传统DP，假设树不发生变化，我们就可以利用DP求出带权重心。

　　考虑修改，我们思路不变，还是从root开始找，但发现这样会被卡成$n^2$，原因是每次经过点太多，为了优化，考虑点分树，由于点分树的性质使得假设我们可以在点分树上找到最优解，那么每次最多经过$log$个节点，可以保证时间复杂度。

　　然后考虑在点分树转移，假设当前节点为x，我们枚举其在原树中的边，假设当前枚举边的另一端为y，那么由DP可以得出如果以当前边分为两半，若y的一半点权和大于所有点权的一半，那么最优解一定在y那边存在，然后我们由点分树直接跳跃到y对应的块中。若不存在这样的y，则x一定为最优解。

　　这样的话我们的目的就是求x点对应的答案以及y一边对应的点权和，我们用三个数组来记录当前x的点分子树的点权和，点分子树到达x的$d*dis$和，以及到达其父亲的$d*dis$和，这样统计x的答案就可以在$log$的时间内完成。

　　对于y我们可以开一个$log$大小的数组来记录在点分数上走过的点，并按照原树dfs排序，每次到达一个新的x用$log$更新，并在此序列上维护一个$sum$表示经过路径上x与其儿子s点权和之差，那么考虑若枚举的y是x在原树的儿子或父亲时的情况，分类讨论，利用$sum$快速求出y一边的点权和。

　　综上所述，时间复杂度为$O(20nlog_2^nlog_2^{log_2^n})$

代码：

#define Troy 
#define inf 0x7fffffff

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;

inline int read(){
    int s=0,k=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'|ch>'9')    ch=='-'?k=-1:0,ch=getchar();
    while (ch>47&ch<='9')    s=s*10+(ch^48),ch=getchar();
    return s*k;
}

const int N=1e5+5;

typedef long long ll;

struct edges {
    int v,nv,w;edges *last;
}edge[N<<1],*head[N];int cnt;

inline void push(int u,int v,int w){
    edge[++cnt]=(edges){v,0,w,head[u]};head[u]=edge+cnt;
}

int bit[30];

class ST{
public:
    inline void build(int *a,int n){
        lgs[0]=-1;
        register int i,j;
        for (i=1;i<=n;++i)  lgs[i]=lgs[i>>1]+1,f[i][0]=a[i];
        for (i=1;bit[i]<=n;++i)
            for (j=1;j+bit[i]<=n+1;++j)
                f[j][i]=min(f[j][i-1],f[j+bit[i-1]][i-1]);
    }

    inline int query(int l,int r){
        if(r<l) swap(l,r);int t=lgs[r-l+1];
        return min(f[l][t],f[r-bit[t]+1][t]);
    }   
private:
    int f[N<<1][20],lgs[N<<1];
}RMQ;

int dis[N],eular[N<<1],num,beg[N],End[N],n,m;

inline void DFS(int x,int fa){
    eular[beg[x]=++num]=dis[x];
    for(edges *i=head[x];i;i=i->last)   if(i->v^fa){
        dis[i->v]=dis[x]+i->w;
        DFS(i->v,x);
        eular[++num]=dis[x];
    }End[x]=num;
}

inline ll get_dis(int x,int y){
    return dis[x]+dis[y]-(RMQ.query(beg[x],beg[y])<<1);
}

class Point_Divide_Tree{
public:
    int root,tot,fat[N],size[N],heavy[N],dsum[N];
    bool vis[N];
    ll dissum[N],fdissum[N];

    inline void dfs(int x,int fa){
        size[x]=1,heavy[x]=0;
        for(edges *i=head[x];i;i=i->last)   if(i->v!=fa&&!vis[i->v]){
            dfs(i->v,x),size[x]+=size[i->v];
            heavy[x]=max(heavy[x],size[i->v]);
        }heavy[x]=max(heavy[x],tot-size[x]);
        if(heavy[root]>heavy[x])    root=x;
    }

    inline void build(int x,int fa){
        root=0,dfs(x,0);
        vis[x=root]=true,fat[x]=fa,dfs(x,x);
        for (edges *i=head[x];i;i=i->last) if(!vis[i->v]){
            tot=size[i->v];
            build(i->v,x),i->nv=root;
        }root=x;
    }

    inline void insert(int x,int y,int val){
        tot+=val;
        while(x){
            dsum[x]+=val;
            dissum[x]+=get_dis(x,y)*val;
            if(fat[x]) 
                fdissum[x]+=get_dis(fat[x],y)*val;            
            x=fat[x];
        }
    }

    ll ans,sum[30];
    int pos[30],leth;

    inline int calc(int fa,int x,int real){
        int ret=dsum[real];
        if(dis[x]<dis[fa]){
            int l=lower_bound(pos+1,pos+leth+1,beg[fa])-pos,
                r=upper_bound(pos+1,pos+leth+1,End[fa])-pos-1;
            ret+=sum[leth]-sum[r]+sum[l-1];
        }else{
            int l=lower_bound(pos+1,pos+leth+1,beg[x])-pos,
                r=upper_bound(pos+1,pos+leth+1,End[x])-pos-1;
            ret+=sum[r]-sum[l-1];
        }
        return ret;
    }

    inline ll calc(int x){        
        ll ret=dissum[x];
        int p=x;
        while(fat[x]){
            ret+=(dsum[fat[x]]-dsum[x])*get_dis(fat[x],p)+dissum[fat[x]]-fdissum[x];
            x=fat[x];
        }return ret;
    }

    inline void update(int x,int y){
        ll now=dsum[x]-dsum[y];
        for(int i=leth+1;i;--i){
            sum[i]=sum[i-1]+now;
            if(i==1||pos[i-1]<=beg[x]){
                pos[i]=beg[x];
                break;
            }else   pos[i]=pos[i-1];
        }++leth;
    }

    inline void query(int x){
        for(edges *i=head[x];i;i=i->last) if(i->nv){
            if(calc(x,i->v,i->nv)*2>=tot){
                update(x,i->nv);
                ans=calc(i->nv);               
                query(i->nv);
                break;
            }
        }
    }

    inline void query(){
        leth=0;
        ans=dissum[root];
        query(root);
        printf("%lld\n",ans);
    }
}tree;

int main(){
    register int i,j;
    for (i=0;i<=20;++i)  bit[i]=1<<i;
    n=read(),m=read();
    for (i=1;i^n;++i){
        int a=read(),b=read(),c=read();
        push(a,b,c),push(b,a,c);
    }
    DFS(1,1),RMQ.build(eular,num);    
    tree.tot=n,tree.heavy[0]=inf;
    tree.build(1,0),tree.tot=0;
    while(m--){
        i=read(),j=read();
        tree.insert(i,i,j);
        tree.query();
    }
}