极限学习笔记

这个人太菜了，轻喷。

数列极限

定义

数列的概念

自变量为正整数的函数 \(u_n=f(n)\)，其中 \(n=1,2,3\cdots\)，将其函数值按自变量从小到大排成一列数 \(u_1,u_2\cdots u_n \cdots\)，称为数列，将其简记为 \(\{u_n\}\)。
其中 \(u_n\) 称为数列的通项或者一般项。、

数列极限的定义（\(\varepsilon-N\) 语言）

如果一个数列 \(\{x_n\}\) 和一个常数 \(a\) 有以下关系：\(\forall\varepsilon>0\)（念 epsilon），\(\exists N\)（\(N\) 是正整数），使得当 \(n>N\) 时，总有 \(|x_n-a|<\varepsilon\)，则称该数列的极限为 \(a\)，记作 \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_n=a\)（或者 \(x_n\to a(n\to \infty)\)），此时称该数列收敛，否则称该数列发散（那个 \(\infty\) 不带正负号）。
注意：\(\varepsilon\) 为极小数，一般不会大于 \(1\)，要是你取一个 \(\varepsilon=10000\) 然后发现所有的数列都是收敛的就挂了。

现在我们尝试把上面的绝对值符号拆开然后感性理解一下为什么极限是这样定义的：

\[|x_n-a|<\varepsilon\iff -\varepsilon<x_n-a<\varepsilon\iff a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon \]

注意到 \(\varepsilon\) 为极小数，那么此时 \(x_n\) 无限趋近于 \(a\)，感性上就非常正确。
所以我们将区间 \((a-\varepsilon,a+\varepsilon)\) 称为 \(a\) 的邻域，记作 \(U(a,\varepsilon)\)。同时，\(a\) 的去心邻域（顾名思义就是去掉中心）是区间 \((a-\varepsilon,a)\cup(a,a+\varepsilon)\)，记作 \(\mathring{U}(a,\varepsilon)\)。

现在你已经学会了极限，那么让我们把他运用到简单的栗子中来吧：

eg1：设数列 \(\{x_n\}=\frac{n+(-1)^n}{n}\)，证明 \(\{x_n\}\) 的极限为 \(1\)。
思路：
等同于证明 \(|\frac{n+(-1)^n}{n}-1|<\varepsilon\)（注意并不需要构造 \(\varepsilon\)），也就是 \(\frac{1}{n}<\varepsilon\)，即 \(n>\frac{1}{\varepsilon}\)。
好的，那么证明：
\(\forall \varepsilon>0\)，取 \(N=\frac{1}{\varepsilon}\)，容易证明当 \(n>N\) 时有 \(|x_n-1|<\varepsilon\)，所以 \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_n=1\)。

确实非常简单，然后我们发现最重要的部分在于构造一个满足条件的 \(N\)。

eg2：设 \(\{x_n\}=\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}\)，证明 \(\{x_n\}\) 的极限为 \(0\)。
思路：
等同于证明 \(|\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}-0|<\varepsilon\)，也就是 \(\frac{1}{(n+1)^2}<\varepsilon\)，我们注意到 \(\frac{1}{(n+1)^2}<\frac{1}{n+1}\)，那么取 \(\varepsilon=\frac{1}{n+1}\)，即 \(n=\frac{1}{\varepsilon}-1\)，所以令 \(N=\frac{1}{\varepsilon}-1\) 即可。
证明：
\(\forall\varepsilon>0\)，取 \(N=\frac{1}{\varepsilon}-1\)，当 \(n>N\) 时有 \(|x_n-0|<\varepsilon\)，故 \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_n=0\)。
不难发现当 \(n\) 更大时 \(x_n\) 只会越来越小，并且非负，所以符合条件。

容易看出上述证明中我们运用了放缩法。

eg3：设 \(|q|<1\)，证明等比数列 \(1,q,q^2\cdots q^n\cdots\) 极限为 \(0\)。
思路：
写出通项 \(\{x_n\}=q^{n-1}\)，等同于证明 \(|q^{n-1}-0|<\varepsilon\)，也就是 \(|q|^{n-1}<\varepsilon\)，我们发现这个指数很恶心，所以运用一些简单的高中计算变成：\(\ln|q|^{n-1}<\ln\varepsilon\)，换底之后 \((n-1)\ln|q|<\ln\varepsilon\)，即 \(n<\frac{\ln\varepsilon}{\ln|q|}+1\)，取 \(N=\frac{\ln\varepsilon}{\ln|q|}+1\) 即可。
证明：
\(\forall\varepsilon>0\)，取 \(N=\frac{\ln\varepsilon}{\ln|q|}+1\)，当 \(n>N\) 时有 \(|x_n-0|<\varepsilon\)，也就是 \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_n=0\)。

注意到 \(|q|<1\)，所以当 \(n>N\) 时 \(x_n\) 只会越乘越小，且非负，所以符合条件。
写过程太麻烦了，以后就不写了。

收敛数列的性质

收敛数列的极限唯一

因为不知道怎么证明，所以我们考虑反证法。
所以我们设 \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_n=a\) 以及 \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_n=b\)，不妨令 \(a<b\)。
取 \(\varepsilon\) 等于什么我们先放着。
反正我们知道 \(\exists N_1,s.t.\forall n>N_1,|x_n-a|<\varepsilon\)，同时 \(\exists N_2,s.t.\forall n>N_2,|x_n-b|<\varepsilon\)，注意我们的两个式子中的 \(\varepsilon\) 必须相等。
只要举出一个反例就可以了，这就是构造的魅力所在。
根据数学智慧，我们取 \(\varepsilon=\frac{b-a}{2}\)，第一个式子可以变为：\(x_n<a+\varepsilon=\frac{a+b}{2}\)，同理第二个是：\(x_n>b-\varepsilon=\frac{a+b}{2}\)。
矛盾，故假设不真，得证。

所以如果一个数列的极限不唯一（其实这个时候并不能叫极限），那么它一定是发散的。
eg：证明数列 \(\{x_n\}=(-1)^{n+1}\) 是发散的。
证明：写出来就是 \(1,-1,1,-1\cdots\)，肉眼可见对于任意的正整数 \(N\)，\(\forall n>N\)，当 \(n\) 是偶数的时候，原数列趋近于 \(-1\)，奇数时趋近于 \(1\)，显然不收敛，所以发散。
或者相应的，用定义法解决这个问题，取 \(\varepsilon=1\)（其实我们不应该取这么大的），显然 \(\forall a\in \mathbb{R}\)，\(a\) 的邻域显然无法同时包括 \(1\) 和 \(-1\)，得证。