10.8 CSP-S 模拟赛

为什么我如此之唐？

T1 string

用任意方法求出 LIS 长度答案就是原长减去 LIS 长度。

因为不会朴素求法写了树状数组 /ll

T2 meeting

神秘小二分。

考虑二分花费的时间，每个人的可到达位置会在一个区间内 \([x - vt, x + vt]\)，那么取交集看是否存在交集 check 即可。

T3 travel

你注意到一个强联通分量中一定是可以回到起点，那么反边只需要建在两个强联通分量之间，幸运的是，暴力的 \(O(mn+m^2)\) 成功通过了（

T4 discover

你注意到 \(n\) 的范围十分的大，考虑直接从 \(T\) 下手。

考虑枚举危险点来确定最大可确定的长方形，确定了长方形那么最大的正方形也随之确定。

\(O(T^2)\) 枚举左右两边的危险点，\(O(T)\) 枚举在这个横坐标区间内的危险点确定上下边界。即高处点纵坐标最小值到低处点纵坐标最大值的范围。

没有那么多点该怎么办呢？比如只有两个点。

翻个 90 度再做一遍（

只有一个点怎么办呢？

把边界当做危险点加进去即可。

T5 xor

你发现他是一个底层 \(n\) 个 \(a_i\) 的三角形一层一层相邻两个异或上去，那么对于 \((x,y)\) 上的数一定可以表示成 \(\oplus_{i=1}^{n}{a_i^{k_i}}\)，那么我们只需要知道 \(a_i\) 被异或的次数即可。这个异或的次数就是 \((0,i)\) 这个点到 \((x,y)\) 的路径总数，是可以拿组合数算的，你发现影响路径数的就是其右转的次数，总共最多只有 \(x\) 次右转，对于第 \(i\) 个最多可以转 \(i - y\) 次，路径数即为 \(\binom{x}{i-y}\)。

根据异或的性质，我们其实只需要知道异或次数的奇偶性即 \(\binom{x}{i-y} \bmod 2\)，其等价于 \([x \enspace \& \enspace (i - y) = (i - y)]\)，直接枚举 \(x\) 子集即可，期望得分 40，因为是随机数据所以可以过，复杂度 \(E(2^{\operatorname{popcount(x)}}) \times q\)。

正确复杂度的做法。考虑一般化从 \((t,i)\) 计算 \((x,y)\)，那么异或次数会变成 \(\binom{x - t}{i - y}\)，复杂度可得 \(2^{\operatorname{popcount(x - t)}} \times q + nt\)，考虑平衡两部分，不妨设 \(t = x \bmod 2^p\)，你发现这样清空了 \(x\) 的后 \(p - 1\) 位以优化第一部分，因为 \(x\) 差不多 20 位，那么取到一个恰好的 \(p\) 可以优化到根号级别，并且只要 \(2^p\) 不大，\(nt\) 也不会太大，所以考虑取 \(p = 9\)，这样差不多是 \(O(n\sqrt{n} + q\sqrt{n})\) 的复杂度。那么我们只需要预处理前 512 行的数即可，之后枚举 \(x - t\) 子集暴力推就行。