SG 函数相关证明

首先，我们可以从 \(2\) 个游戏的情况推到若干个游戏的情况。下面考虑只有 \(2\) 个游戏的情况。

我们设第一个游戏的起始点为 \(u\)，他的后继节点的 \(SG\) 函数所构成的集合为 \(S\)；第二个游戏的起始点为 \(v\)，他的后继节点的 \(SG\) 函数所构成的集合为 \(T\)。

我们只需要证明：\(mex(S) \oplus mex(T)=mex(S' \cup T')\)。
其中 \(S'=\{x|x\oplus mex(T) \in S\}\)，\(T' = \{x|x\oplus mex(S) \in T\}\)。

同理，\(mex(S) \oplus mex(T) \notin T'\)。所以 \(mex(S) \oplus mex(T) \notin S' \cup T'\)。

首先\([0, mex(S)) \subseteq S,[0, mex(T)) \subseteq T\)。
接下来只需要证明 \([0, mex(S) \oplus mex(T)) \subseteq S'\cup T'\) 即可。

首先，因为 \(mex(S) \notin S\)，所以 \(mex(S) \oplus mex(T) \notin S'\)。

设 \(mex(S) = s,mex(T) = t\)。考虑 \(s\) 和 \(t\) 从高到低的第一位，首先可以取到所有这一位为 \(0\) 的数。先考虑只有 \(1\) 个不同数位的情况，显然可行。

现在考虑当前位为 \(1\) 的这些数，可以发现，到下一位不同的数位，我们都能取到。一位一位地考虑，数学归纳法的思想。

可以证明 \([0, mex(S) \oplus mex(T)) \subseteq S'\cup T'\) 。